Question

【題目】在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，E是OC上任意一點，AG⊥BE于點G，交直線BD于點F．

（1）如圖1，若四邊形ABCD是正方形，判斷AF與BE的數(shù)量關(guān)系：AF與BE的數(shù)量關(guān)系是 ；

（2）如圖2，若四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，求的值；

（3）如圖3，若四邊形ABCD中，AC⊥BD，∠ABC=α，∠DBC=β，請你補(bǔ)全圖形，并直接寫出：= （用含α，β的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）AF=BE（2）（3）tan（α﹣β）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)四邊形ABCD是菱形和∠ABC=120°，推出AC⊥BD，∠ABO=60°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠AFO=∠BEA，又因為∠AOF=∠BOE=90°，推出三角形相似，即可得到結(jié)論；

（3）根據(jù)垂直的定義得到∠AGB=∠AOB=90°，推出A，G，B，O四點共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠GAO=∠GAO，推出△AOF∽△BOE，即可得到結(jié)論．

解：（1）AF=BE；

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠AOB=∠BOC=90°，AO=BO，

∵AG⊥BE，∠AFO=∠BFG，

∴∠FAO=∠FBG，

在△AFO與△BFO中，

，

∴△AFO≌△BFO，

∴AF=BE；

故答案為：AF=BE；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，

∴AC⊥BD，∠ABO=60°，

∴∠FAO+∠AFO=90°，

∵AG⊥BE，

∴∠EAG+∠BEA=90°，

∴∠AFO=∠BEA，

又∵∠AOF=∠BOE=90°，

∴△AOF∽△BOE，

∴=，

∵∠ABO=60°，AC⊥BD，

∴=tan60°=，

∴=；

（3）如圖3，∵AG⊥BE，AC⊥BD，

∴∠AGB=∠AOB=90°，

∴A，G，B，O四點共圓，

∴∠GAO=∠GAO，

∴∠AOF=∠BOE=90°，

∴△AOF∽△BOE，

∴=，

∵∠ABO=∠ABC﹣∠OBC=α﹣β，AC⊥BD，

∴=tan（α﹣β），

∴=tan（α﹣β）．

故答案為：tan（α﹣β）．