Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點B的坐標是（﹣1，0），并且OA=OC=4OB，動點P在過A，B，C三點的拋物線上．

（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由；
（3）過動點P作PE垂直于y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線．垂足為F，連接EF，當線段EF的長度最短時，寫出點P的坐標（不要求寫解題過程）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由B（﹣1，0）可知OB=1，

∵OA=OC=4OB，

∴OA=OC=4，OB=1，

∴C（0，4），A（4，0）．

設拋物線的解析式是y=ax2+bx+c，

則 ，

解得： ，

則拋物線的解析式是y=﹣x2+3x+4；

（2）

解：存在．

①當以C為直角頂點時，

過點C作CP1⊥AC，交拋物線于點P1，

過點P1作y軸的垂線，垂足是M，M，如圖1．

∵∠A CP1=90°，∴∠MCP1+∠ACO=90°．

∵∠ACO+∠OAC=90°，

∴∠MCP1=∠OAC．

∵OA=OC，

∴∠MCP1=∠OAC=45°，

∴∠MCP1=∠MP1C，

∴MC=MP1，

設P（m，﹣m2+3m+4），

則m=﹣m2+3m+4﹣4，

解得：m1=0（舍去），m2=2．

∴m=2，

此時﹣m2+3m+4=6，

∴P1P的坐標是（2，6）．

②當點A為直角頂點時，

過A作AP2⊥AC交拋物線于點P2，

過點P2作y軸的垂線，垂足是N，AP交y軸于點F，如圖2．

∴P2N∥x軸，

由∠CAO=45°得∠OAP2 =45°，

∴∠FP2N=45°，AO=OF．

∴P2N=NF，

設P2（n，﹣n2+3n+4），

則﹣n+4=﹣（﹣n2+3n+4），

解得：n1=﹣2，n2=4（舍去），

∴n=﹣2，

此時﹣n2+3n+4=﹣6，

∴P2的坐標是（﹣2，﹣6）．

綜上所述：P的坐標是（2，6）或（﹣2，﹣6）；

（3）

解：當EF最短時，點P的坐標是（ ，2）或（ ，2）．

解題過程如下：

連接OD，由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF．

根據垂線段最短可得：當OD⊥AC時，OD（即EF）最短．

由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4．

根據等腰三角形的性質可得：D是AC的中點．

又∵DF∥OC，

∴△AFD∽△AOC，

∴ = =

∴DF= OC=2，

∴點D的縱坐標是2，

∴點P的縱坐標也是2，

解﹣x2+3x+4=2得，

x1= ，x2= ，

∴點P的坐標為（ ，2）或（ ，2）．

【解析】（1）只需求出A、B、C三點的坐標，然后運用待定系數法就可求出拋物線的解析式；（2）可分兩種情況（①以C為直角頂點，②以A為直角頂點）討論，然后根據點P的縱、橫坐標之間的關系建立等量關系，就可求出點P的坐標；（3）連接OD ， 易得四邊形OFDE是矩形，則OD=EF ， 根據垂線段最短可得當OD⊥AC時，OD（即EF）最短，然后只需求出點D的縱坐標，就可得到點P的縱坐標，就可求出點P的坐標．
【考點精析】本題主要考查了拋物線與坐標軸的交點的相關知識點，需要掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．才能正確解答此題．