Question

【題目】如圖是一個二次函數(shù)的圖象，頂點(diǎn)是原點(diǎn)O，且過點(diǎn)A（2，1），

（1）求出二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）我們把橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，請用整數(shù)n表示這條拋物線上所有的整點(diǎn)坐標(biāo)．

（3）過y軸的正半軸上一點(diǎn)C（0，a）作AO的平行線交拋物線于點(diǎn)B，

①求出直線BC的函數(shù)表達(dá)式（用a表示）；

②如果點(diǎn)B是整點(diǎn)，求證：△OAB的面積是偶數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2；（2）拋物線上整點(diǎn)坐標(biāo)可表示為（2n，n2），其中n為整數(shù)；（3）①y=x+a；②詳見解析.

【解析】

（1）可設(shè)拋物線的解析式為y=ax2，然后只需把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，就可解決問題；

（2）由拋物線的解析式可知，要使y是整數(shù)，只需x是偶數(shù)，故x可用2n表示（n為整數(shù)），由此就可解決問題；

（3）①可運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線OA的解析式，然后根據(jù)兩直線平行一次項(xiàng)的系數(shù)相同，就可得到直線BC的函數(shù)表達(dá)式；②由于點(diǎn)B是整點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)可表示為（2n，n2），代入直線BC的解析式，即可得到a的值（用n表示），然后根據(jù)平行等積法可得S△OAB=S△OAC=n（n-1），由于n與n-1是相鄰整數(shù)，必然一奇一偶，因而n（n-1）是偶數(shù)，問題得以解決．

（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2，

把A（2，1）代入y=ax2，得1=4a，

解得a=，

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2；

（2）拋物線上整點(diǎn)坐標(biāo)可表示為（2n，n2），其中n為整數(shù)；

（3）①設(shè)直線OA的解析式為y=kx，

把點(diǎn)A（2，1）代入y=kx，得1=2k，

解得k=，

∴直線OA的解析式為y=x，

則過點(diǎn)C（0，a）與直線OA平行的直線的解析式為y=x+a；

②證明：∵點(diǎn)B是整點(diǎn)，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)可表示為（2n，n2），其中n為整數(shù)，

把B（2n，n2）代入y=x+c，得n2=n+c，

∴c=n2﹣n=n（n﹣1）．

∵BC∥OA，

∴S△OAB=S△OAC=×c×2=c=n（n﹣1）．

∵n為整數(shù)，

∴n與n﹣1一奇一偶，

∴n（n﹣1）是偶數(shù)，

∴△OAB的面積是偶數(shù)．