Question

【題目】如圖，拋物線y=（x﹣1）2+n與x軸交于A，B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C（0，﹣3），點D與點C關于拋物線的對稱軸對稱．

（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；
（2）點P是拋物線對稱軸上的一動點，當△PAC的周長最小時，求出點P的坐標；
（3）點Q在x軸上，且∠ADQ=∠DAC，請直接寫出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把C（0，﹣3）代入y=（x﹣1）2+n，得，﹣3=（0﹣1）2+n，

解得n=﹣4，

∴拋物線的解析式為y=（x﹣1）2﹣4，

∴拋物線的對稱軸為直線x=1，

∵點D與點C關于拋物線的對稱軸對稱，

∴點D的坐標為（2，﹣3）

（2）

解：連接PA、PC、PD

∵點D與點C關于拋物線的對稱軸對稱

∴PC=PD

∴AC+PA+PC=AC+PA+PD

∵AC為定值，PA+PD≥AD

∴當PA+PC的值最小，即A，P，D三點在同一直線上時△PAC的周長最小，

由y=（x﹣1）2﹣4=0解得，x1=﹣1，x2=3，

∵A在B的左側，∴A（﹣1，0），

由A，D兩點坐標可求得直線AD的解析式為y=﹣x﹣1，

當x=1時，y=﹣x﹣1=﹣2，

∴當△PAC的周長最小時，點P的坐標為（1，﹣2）

（3）

解：如圖2中，

①作DQ∥AC交x軸于點Q，此時∠DQA=∠DAC，滿足條件．

∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），

∴直線AC的解析式為y=﹣3x﹣3，

∴直線QD的解析式為y=﹣3x+3，

令y=0得x=1，

∴Q（1，0）．

②設線段AD的垂直平分線交AC于E，直線DE與x的交點為Q′，此時∠Q′DA=′CAD，滿足條件，

∵直線AD的解析式為y=﹣x﹣1，

∴線段AD的中垂線是解析式為y=x﹣2，

由 解得 ，

∴E（﹣ ，﹣ ），

∴直線DE的解析式為y=﹣ x﹣ ，

令y=0得到x=﹣7，

∴Q′（﹣7，0）．

綜上所述，Q點坐標為（1，0）或（﹣7，0）

【解析】（1）利用待定系數法即可求出n，利用對稱性C、D關于對稱軸對稱即可求出點D坐標．（2）A，P，D三點在同一直線上時△PAC的周長最小，求出直線AD的解析式即可解決問題．（3）分兩種情形①作DQ∥AC交x軸于點Q，此時∠DQA=∠DAC，滿足條件．②設線段AD的垂直平分線交AC于E，直線DE與x的交點為Q′，此時∠Q′DA=′CAD，滿足條件，分別求解即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．