Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，過點A作AD∥BC，與∠ABC的平分線交于點D，BD與AC交于點E，與⊙O交于點F．

（1）求∠DAF的度數；

（2）求證：AE2=EFED；

Answer 1

【答案】（1）36°；（2）證明見解析

【解析】

（1）求出∠ABC、∠ABD、∠CBD的度數，求出∠D度數，根據三角形內角和定理求出∠BAF和∠BAD度數，即可求出答案；

（2）求出△AEF∽△DEA，根據相似三角形的性質得出即可.

（1）∵AD∥BC，

∴∠D=∠CBD，

∵AB=AC，∠BAC=36°，

∴∠ABC=∠ACB=×（180°﹣∠BAC）=72°，

∴∠AFB=∠ACB=72°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=×72°=36°，

∴∠D=∠CBD=36°，

∴∠BAD=180°﹣∠D﹣∠ABD=180°﹣36°﹣36°=108°，

∠BAF=180°﹣∠ABF﹣∠AFB=180°﹣36°﹣72°=72°，

∴∠DAF=∠DAB﹣∠FAB=108°﹣72°=36°；

（2）∵∠CBD=36°，∠FAC=∠CBD，

∴∠FAC=36°=∠D，

∵∠AED=∠AEF，

∴△AEF∽△DEA，

∴，

∴AE2=EF×ED.