Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，已知AB=6，BC=9， ．對角線AC、BD交于點O．動點P在邊AB上，⊙P經過點B，交線段PA于點E．設BP= x．

（1）求AC的長；

（2）設⊙O的半徑為y，當⊙P與⊙O外切時，求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；

（3）如果AC是⊙O的直徑，⊙O經過點E，求⊙O與⊙P的圓心距OP的長．

Answer 1

【答案】（1）9；（2），定義域：0＜x≤3；（3）或

【解析】試題分析：（1）作AH⊥BC于H，根據已知條件和銳角三角函數的定義即可求得BH=2，根據勾股定理求得AH的長，在分局勾股定理求得AC的長即可；(2) 作OI⊥AB于I，聯結PO，可得AO=4.5，Rt△AIO中，求得AI=1.5，IO= 3，即可得PI=-x，在Rt△PIO中，根據勾股定理求得 ，又因⊙P與⊙O外切，可得 ，所以-x，因為動點P在邊AB上，⊙P經過點B，交線段PA于點E，即可得定義域為0＜x≤3；（3）分①當E與點A不重合時和②當E與點A重合時兩種情況求AP的長即可.

試題解析：

（1）作AH⊥BC于H，且，AB=6，

那么

BC=9，HC=9-2=7，，﹒

（2）作OI⊥AB于I，聯結PO，AC=BC=9，AO=4.5，

∴∠OAB=∠ABC，

∴Rt△AIO中，，

∴AI=1.5，IO= ，

∴PI=AB-BP-AI=6-x-1.5= ，

∴Rt△PIO中，，

∵⊙P與⊙O外切，∴，

∴= ，

∵動點P在邊AB上，⊙P經過點B，交線段PA于點E．∴定義域：0＜x≤3；

（3）由題意得：∵點E在線段AP上，⊙O經過點E，∴⊙O與⊙P相交

∵AO是⊙O半徑，且AO＞OI，∴交點E存在兩種不同的位置，OE=OA=

①當E與點A不重合時，AE是⊙O的弦，OI是弦心距．∵AI=1.5，AE=3，∴點E是AB中點，，，，IO=

，

②當E與點A重合時，點P是AB中點，點O是AC中點，，

∴或．