Question

【題目】如圖，在等腰中，，，是邊上的中點，點、分別在、邊上運動，且保持，連接、、．在此運動變化的過程中，下列結論：①是等腰直角三角形；②四邊形不可能為正方形；③；④四邊形的面積保持不變；⑤面積最大值為8，其中正確的結論是___________（填番號）．

Answer 1

【答案】①③④⑤

【解析】

連接CF，由SAS定理可得△CFE≌△ADF，從而可證∠DFE=90°可得DF=EF，可得①△DFE是等腰直角三角形正確；顯而易見③正確，再由補割法可證④是正確的．判斷②與⑤，當DF⊥BC時，DF最小，DF取最小值4，△CDE最大的面積等于四邊形CDEF的面積減去△DEF的最小面積，此時四邊形CDFE是正方形，由此可知⑤是正確的，②錯誤；故①③④⑤正確．

解：連接CF，

∵△ABC為等腰直角三角形，是邊上的中點，

∴∠FCB=∠A=45°， CF=AF=FB，
∵AD=CE
∴△ADF≌△CEF

∴EF=DF ， ∠CFE=∠AFD

∵∠AFD+∠CFD=90°
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°
∴△EDF是等腰直角三角形，
所以①正確；
當D、E分別為AC、BC的中點時，DF∥BC，EF∥CD

∴四邊形CDEF是平行四邊形，

又∵DF=EF

∴四邊形CDEF是正方形，
因此②錯誤；

在等腰中，

∴AC=BC
∵AD=CE， CD=AC-AD，EB=BC-CE，

∴CD=EB

③是正確的；
由△ADF≌△CEF可知S△ADF=S△CEF

S四邊形CDFE=S△CDF+S△CEF= S△CDF+S△ADF

=S△ACF=S△ABC=××8×8=16

即四邊形CDFE的面積保持不變．

由此④正確；
∵△DEF是等腰直角三角形，
當DE最小時，DF也最小，
即當DF⊥AC時,DE最小，
此時DF∥CB，DF=BC

當△CDE面積最大時，△DEF的面積最小，

此時，

S△CDE=S四邊形CEFD-S△DEF
=16-DF·EF
=16-×4×4
=8，
所以⑤正確．

綜上所述正確的有①③④⑤．
故答案為：①③④⑤