Question

【題目】定義：在平面直角坐標系中，圖形G上點P(x,y)的縱坐標y與其橫坐標x的差y－x稱為P點的“坐標差”，而圖形G上所有點的“坐標差”中的最大值稱為圖形G的“特征值”

(1)①點A(1,3) 的“坐標差”為 。

②拋物線y=－x2+3x+3的“特征值”為 。

(2)某二次函數y=－x2+bx+c(c≠0) 的“特征值”為1，點B(m,0)與點C分別是此二次函數的圖象與x軸和y軸的交點，且點B與點C的“坐標差”相等。

①直接寫出m= (用含c的式子表示)

②求此二次函數的表達式。

(3)如圖，在平面直角坐標系xOy中，以M(2,3)為圓心，2為半徑的圓與直線y=x相交于點D、E請直接寫出⊙M的“特征值”為 。

Answer 1

【答案】（1）① 2； ② 4； （2）① m= －c ; ②

；（3）

【解析】試題分析：

（1）①由題中所給“坐標差”的定義即可得到點A（1，3）的坐標差；

②由坐標差的定義可得：二次函數y=－x2+3x+3圖象上點的坐標差為： ，將此關系式配方即可求得y-x的最大值，從而得到拋物線y=－x2+3x+3的“特征值”；

（2）①由題意可得：0-m=c-0，由此可得：m=-c；

②由m=-c可得點B的坐標為（-c，0），把點B的坐標代入中可得，由可得，即；再由的特征值為1可得： ，兩者即可解得b何c的值，由此即可得到二次函數的解析式；

（3）如圖，過點M作直線PF⊥DE，交⊙M于點P和F，由已知條件易得直線PF的解析式為y=-x+5；由直線y=x上的所有點的坐標差為0，且坐標平面內在直線y=x的右側距離直線y=x越遠的點的坐標差越大可知在⊙M上距離直線y=x最遠的點是點P，設點P的坐標為（x，y）由點P到M的距離為2，可得到關于x、y的方程，和y=-x+5組合即可解得點P的坐標，這樣就可得到⊙M的特征值了.

試題解析：

（1）① ∵點A的坐標為（1，3），

∴點A的坐標差為：3-1= 2；

② ∵二次函數的解析式為：y=－x2+3x+3，

∴該二次函數圖象上所有點的坐標差都滿足： ，

∵，即該二次函數圖象上點的坐標差的最大值為4，

∴該二次函數圖象的特征值為：4；

（2）① 由已知易得點C的坐標為（0，c），而B的坐標為（m，0），

∴點C的坐標差為：c-0，點B的坐標差為：0-m，

又∵點B與點C的“坐標差”相等，

∴c-0=0-m，

∴m=－c；

② ∵m=－c，

∴B（－c，0），

將其代入 中，

得， ，

∵c≠0，

∴，

∴ ① ，

∴ 的“坐標差”為：

，

∵“特征值”為1，

∴ ②，

將①代入②中，得：

∴ ，

∴拋物線的表達式為 ；

（3）如圖，過點M作直線PF⊥DE，交⊙M于點P和F，

∵直線DE的解析式為：y=x，點M的坐標為（2，3），

∴直線PF的解析式為y=-x+5，

∵直線y=x上所有點的坐標差都等于0，而在直線y=x的右側距離直線y=x越遠的點的坐標差就越大，而⊙M上點P距離直線y=x最遠，

∴點P的坐標差就是⊙M的“特征值”，

設點P的坐標為（x，y），

∵點P到點M（2，3）的距離為2，

∴有，

又∵點P（x，y）在直線y=-x+5上，

∴，解得： ，

∴對應的： ，

∴點P的坐標為，

∴點P的坐標差為： ，

∴⊙M的“特征值”為： .