Question

如圖，二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸相交于點C．連接AC，BC，A（-3，0），C（0，

3

），且當x=-4和x=2時二次函數的函數值y相等．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點M、N同時從B點出發，均以每秒1個單位長度的速度分別沿BA、BC邊運動，其中一個點到達終點時，另一點也隨之停止運動．
①當運動時間為t秒時，連接MN，將△BMN沿MN翻折，B點恰好落在AC邊上的P處，求t的值及點P的坐標；
②拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得以B、N、Q為頂點的三角形與△A0C相似？如果存在，請直接寫出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．
③當運動時間為t秒時，連接MN，將△BMN沿MN翻折，得到△PMN．并記△PMN與△AOC的重疊部分的面積為S．求S與t的函數關系式．

Answer 1

（1）∵當x=-4和x=2時二次函數的函數值y相等，
∴拋物線對稱軸：x=-

b

2a

=-1，即b=2a；
由C（0，

3

）得：c=

3

；
將A（-3，0）代入y=ax²+2ax+

3

（a≠0）中，得：
9a-6a+

3

=0，a=-

3

3

∴拋物線的解析式：y=-

3

3

x²-

2 3

3

x+

3

．

（2）由（1）的拋物線解析式知：A（-3，0）、B（1，0）、C（0，

3

），則：
OA=3，OB=1，OC=

3

，即 OC²=OA•OB，又OC⊥AB，則△ABC是直角三角形，且∠CAB=30°，∠ABC=60°；

①△BMN中，BM=BN=t，∠NBM=60°，即△BNM是等邊三角形；
由于△PMN由△BMNA翻轉所得，所以△PMN也是等邊三角形，四邊形PNBM是菱形；
∴PN∥AB（如題干圖），得：

PN

AB

=

CN

BC

，代入數據，有：

t

4

=

2-t

2

，解得：t=

4

3

；
由tan∠CAO=

3

3

、C（0，

3

）得，直線AC：y=

3

3

x+

3

；
當y=t•sin60°=

2 3

3

時，

3

3

x+

3

=

2 3

3

，x=-1
即 P（-1，

2 3

3

）；
綜上，B點恰好落在AC邊上的P處時，t=

4

3

，P（-1，

2 3

3

）．

②∵△AOC是一個含30°角的直角三角形，
∴若以B、N、Q為頂點的三角形與△A0C相似，那么△BNQ也必須是一個含30°角的直角三角形．
分三種情況討論：
Ⅰ、∠QNB=90°、∠BQN=30°（如②-Ⅰ圖）；
∵∠ABC=∠Q₁BN=60°，∴點Q₁在x軸上，即Q₁（-1，0）；
Ⅱ、∠QBN=90°、∠BQN=30°（如②-Ⅱ圖）；
此時BQ₂∥AC，設直線BQ₂：y=

3

3

x+b，代入B（1，0），得：b=-

3

3

∴直線BQ₂：y=

3

3

x-

3

3

，Q₂（-1，-

2 3

3

）；
Ⅲ、∠QNB=90°、∠QBN=30°（如②-Ⅲ圖）；
此時N、C重合，點Q₃應在①的P點處，由①的計算結果知：
Q₃C=

4

3

•sin60°=

2 3

3

，而BC=2，即∠CQ₃B=60°，符合條件；
即 Q₃（-1，

2 3

3

）；
綜上，符合條件的Q點的坐標為：Q₁（-1，0）、Q₂（-1，-

2 3

3

）、Q₃（-1，

2 3

3

）．

③當點P落在y軸上時，

PN

OB

=

CN

BC

，即

t

1

=

2-t

2

，解得：t=

2

3

；
當點M、O重合時，t=OB=1；
當點P落在AC上時，由①知，t=

4

3

；
Ⅰ、當0＜t≤

2

3

時，△PMN和△AOC不重合，即S=0；
Ⅱ、當

2

3

＜t≤1時（如③-Ⅱ圖），由

GN

OB

=

CN

CB

可求得：GN=1-

t

2

，PG=PN-GN=t-（1-

t

2

）=

3t

2

-1；
S=S_△PGH=

1

2

×（

3t

2

-1）×（

3t

2

-1）

3

=

3

2

（

3t

2

-1）²；
Ⅲ、當1＜t≤

4

3

時（如③-Ⅲ圖）；
由Ⅱ知，GN=1-

t

2

，GH=

3

GN=