Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，剪掉陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使A、B、C、D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個底面是正方形的長方體包裝盒．
（1）若折疊后長方體底面正方形的面積為1250cm²，求長方體包裝盒的高；
（2）設剪掉的等腰直角三角形的直角邊長為x（cm），長方體的側面積為S（cm²），求S與x的函數關系式，并求x為何值時，S的值最大．

Answer 1

（1）設剪掉陰影部分的每個等腰直角三角形的腰長為xcm，則NP=

2

xcm，
DP=

60- 2 x

2

，QM=PW=

2

×

60- 2 x

2

，
由題意得：(

60- 2 x

2

×

2

)2=1250．
解得，x1=5

2

，x2=55

2

（超過60，故不符合題意舍去），
答：長方體包裝盒的高為5

2

cm．
另法：∵由已知得底面正方形的邊長為

1250

=25

2

，
∴AN=25

2

×

2

2

=25．
∴PN=60-25×2=10．
∴PQ=10×

2

2

=5

2

（cm）．
答：長方體包裝盒的高為5

2

cm．

（2）由題意得，S=4×S_{四邊形QPWM}=4×PW•QP，
∵PW=

2

×

60- 2 x

2

，QP=x，
∴S=4×

2

×

60- 2 x

2

×x=-4x2+120

2

x．
∵a=-4＜0，
∴當x=15

2

時，S有最大值．