Question

（2012•岳陽(yáng)）（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，D是等邊△ABC邊BA上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合），連接DC，以DC為邊在BC上方作等邊△DCF，連接AF．你能發(fā)現(xiàn)線段AF與BD之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．
（2）類比猜想：如圖②，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至等邊△ABC邊BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他作法與（1）相同，猜想AF與BD在（1）中的結(jié)論是否仍然成立？
（3）深入探究：
Ⅰ．如圖③，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊△ABC邊BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合）連接DC，以DC為邊在BC上方、下方分別作等邊△DCF和等邊△DCF′，連接AF、BF′，探究AF、BF′與AB有何數(shù)量關(guān)系？并證明你探究的結(jié)論．
Ⅱ．如圖④，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊△邊BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其他作法與圖③相同，Ⅰ中的結(jié)論是否成立？若不成立，是否有新的結(jié)論？并證明你得出的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的三條邊、三個(gè)內(nèi)角都相等的性質(zhì)，利用全等三角形的判定定理SAS可以證得△BCD≌△ACF；然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等知AF=BD；
（2）通過(guò)證明△BCD≌△ACF，即可證明AF=BD；
（3）Ⅰ．AF+BF′=AB；利用全等三角形△BCD≌△ACF（SAS）的對(duì)應(yīng)邊BD=AF；同理△BCF′≌△ACD（SAS），則BF′=AD，所以AF+BF′=AB；
Ⅱ．Ⅰ中的結(jié)論不成立．新的結(jié)論是AF=AB+BF′；通過(guò)證明△BCF′≌△ACD（SAS），則BF′=AD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）；再結(jié)合（2）中的結(jié)論即可證得AF=AB+BF′．

解答：解：（1）AF=BD；
證明如下：∵△ABC是等邊三角形（已知），
∴BC=AC，∠BCA=60°（等邊三角形的性質(zhì)）；
同理知，DC=CF，∠DCF=60°；
∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即∠BCD=∠ACF；
在△BCD和△ACF中，

BC=AC ∠BCD=∠ACF DC=FC

，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD=AF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）；

（2）證明過(guò)程同（1），證得△BCD≌△ACF（SAS），則AF=BD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），所以，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至等邊△ABC邊BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他作法與（1）相同，AF=BD仍然成立；

（3）Ⅰ．AF+BF′=AB；
證明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），則BD=AF；
同理△BCF′≌△ACD（SAS），則BF′=AD，
∴AF+BF′=BD+AD=AB；

Ⅱ．Ⅰ中的結(jié)論不成立．新的結(jié)論是AF=AB+BF′；
證明如下：在△BCF′和△ACD中，

BC=AC ∠BCF′=∠ACD F′C=DC

，
∴△BCF′≌△ACD（SAS），
∴BF′=AD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）；
又由（2）知，AF=BD；
∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)．等邊三角形的三條邊都相等，三個(gè)內(nèi)角都是60°．