Question

（2012•岳陽）如圖所示，在⊙O中，

AD

=

AC

，弦AB與弦AC交于點A，弦CD與AB交于點F，連接BC．
（1）求證：AC²=AB•AF；
（2）若⊙O的半徑長為2cm，∠B=60°，求圖中陰影部分面積．

Answer 1

分析：（1）由

AD

=

AC

，利用等弧所對的圓周角相等得到一對角相等，再由一對公共角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出△ACF與△ABC相似，根據相似得比例可得證；
（2）連接OA，OC，利用同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍，由∠B為60°，求出∠AOC為120°，過O作OE垂直于AC，垂足為點E，由OA=OC，利用三線合一得到OE為角平分線，可得出∠AOE為60°，在Rt△AOE中，由OA及cos60°的值，利用銳角三角函數定義求出OE的長，在Rt△AOE中，利用勾股定理求出AE的長，進而求出AC的長，由扇形AOC的面積-△AOC的面積表示出陰影部分的面積，利用扇形的面積公式及三角形的面積公式即可求出陰影部分的面積．

解答：（1）證明：∵

AD

=

AC

，
∴∠ACD=∠ABC，又∠BAC=∠CAF，
∴△ACF∽△ABC，
∴

AC

AB

=

AF

AC

，即AC²=AB•AF；

（2）解：連接OA，OC，過O作OE⊥AC，垂足為點E，
如圖所示：
∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，
又∵OA=OC，∴∠AOE=∠COE=

1

2

×120°=60°，
在Rt△AOE中，OA=2cm，
∴OE=OAcos60°=1cm，
∴AE=

OA2-OE2

=

3

cm，
∴AC=2AE=2

3

cm，
則S_陰影=S_扇形OAC-S_△AOC=

120π•22

360

-

1

2

×2

3

×1=（

4π

3

-

3

）cm²．

點評：此題考查了扇形面積的求法，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，弧、圓心角及弦之間的關系，等腰三角形的性質，勾股定理，以及銳角三角函數定義，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．