Question

（2012•岳陽）我們常見的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物線面，經過鍋心和蓋心的縱斷面是兩端拋物線組合而成的封閉圖形，不妨簡稱為“鍋線”，鍋口直徑為6dm，鍋深3dm，鍋蓋高1dm（鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同），建立直角坐標系如圖①所示，如果把鍋縱斷面的拋物線記為C₁，把鍋蓋縱斷面的拋物線記為C₂．
（1）求C₁和C₂的解析式；
（2）如圖②，過點B作直線BE：y=

1

3

x-1交C₁于點E（-2，-

5

3

），連接OE、BC，在x軸上求一點P，使以點P、B、C為頂點的△PBC與△BOE相似，求出P點的坐標；
（3）如果（2）中的直線BE保持不變，拋物線C₁或C₂上是否存在一點Q，使得△EBQ的面積最大？若存在，求出Q的坐標和△EBQ面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知A、B、C、D四點坐標，利用待定系數法即可確定兩函數的解析式．
（2）根據直線BE：y=

1

3

x-1知，該直線必過（0，-1）點，那么∠EBO=∠CBO，若以點P、B、C為頂點的△PBC與△BOE相似，那么夾這組對應角的對應邊必成比例，先求出BC、BO、BE的長，然后分情況根據線段間的比例關系求出BP的長，進而得到OP的長，即可確定P點坐標．
（3）△EBQ中，BE長為定值，若以BE為底，當△EBQ的面積最大時，Q到直線BE的距離最大；由于點Q可能在拋物線C₁或C₂上，因此兩種情況都要解一下，最后通過比較得到能使△EBQ面積最大的Q點．首先作直線l∥BE，分別令直線l與拋物線C₁、C₂有且僅有一個交點，那么符合條件的Q點必在這兩個交點中，先求出這兩個交點分別到直線BE的距離，距離大者符合條件，由此可得到Q點坐標和△EBQ的面積最大值．

解答：解：（1）由于拋物線C₁、C₂都過點A（-3，0）、B（3，0），可設它們的解析式為：y=a（x-3）（x+3）；
拋物線C1還經過D（0，-3），則有：
-3=a（0-3）（0+3），a=

1

3

即：拋物線C₁：y=

1

3

x²-3（-3≤x≤3）；
拋物線C₂還經過C（0，1），則有：
1=a（0-3）（0+3），a=-

1

9

即：拋物線C₂：y=-

1

9

x²+1（-3≤x≤3）．

（2）由于直線BE：y=

1

3

x-1必過（0，-1），所以∠CBO=∠EBO（tan∠CBO=tan∠EBO=

1

3

）；
由E點坐標可知：tan∠AOE≠

1

3

，即∠AOE≠∠CBO，所以它們的補角∠EOB≠∠CBx；
若以點P、B、C為頂點的△PBC與△BOE相似，只需考慮兩種情況：
①∠CBP₁=∠EBO，且OB：BE=BP₁：BC，即：
3：

5 10

3

=BP₁：

10

，得：BP₁=

9

5

，OP₁=OB-BP₁=

6

5

；
∴P₁（

6

5

，0）；
②∠P₂BC=∠EBO，且BC：BP₂=OB：BE，即：

10

：BP₂=3：

5 10

3

，得：BP₂=

50

9

，OP₂=BP₂-OB=

23

9

；
∴P₂（-

23

9

，0）；
綜上，符合條件的P點有：P₁（

6

5

，0）、P₂（-

23

9

，0）．
（3）如圖，作直線l∥直線BE，設直線l：y=

1

3

x+b；
①當直線l與拋物線C₁只有一個交點時：

1

3

x+b=

1

3

x²-3，即：x²-x-（3b+9）=0，
∴△=1+4（3b+9）=0，
解得，3b+9=-

1

4

，
∴x²-x+

1

4

=0
∴該交點Q₂（

1

2

，-

35

12

）；
Q₂到直線 BE：

1

3

x-y-1=0 的距離：

| 1 2 × 1 3 +(- 35 12 )×(-1)+(-1)|

( 1 3 )2+(-1)2

=

5 10

8

=

25 10

40

；
②當直線l與拋物線C₂只有一個交點時：

1

3

x+b=-

1

9

x²+1，即：x²+3x+9b-9=0，
∴該交點Q₁（-

3

2

，

3

4

）；
Q₁到直線 BE：

1

3

x-y-1=0 的距離：

|(- 3 2 )× 1 3 +(-1)× 3 4 +(-1)|

( 1 3 )2+(-1)2

=

27 10

40

；
∴符合條件的Q點為Q₁（-

3

2

，

3

4

）；
△EBQ的最大面積：S_max=

1

2

×BE×

27 10

40

=

45

8

．
方法二：
當點Q在C₁上時，可設Q（x，

1

3

x²-3），過Q作QM平行y軸交BE于M，則M（m，

1

3

x-1），
則BM=

1

3

x-1-（

1

3

x²-3）=-

1

3

（x+0.5）²+

25

12

，所以當x=-0.5時BM最大值為

25

12

，
所以 S△EBQ最大=S△EQM+S△BQM=

1

2

（xB-xE）×

25

12

=0.5×5×

25

12

=

125

24

，
同理可得，Q在C ₂上時，最大面積為

45

8

，
綜上最大面積為

45

8

．

點評：考查了二次函數綜合題．該題的難度和計算量都比較大，涉及了函數解析式的確定、相似三角形的判定和性質、圖形面積的解法等重點知識；解答（2）題時，應注意分不同的對應邊來進行討論，以免漏解．（3）的難度較大，點到直線的距離公式【點（x₀，y₀）到直線（Ax+By+C=0）的距離為：d=

|Ax0+By0+C|

A2+B2

】是需要記住的內容．另外，題目在設計時結合了一定的生活元素，形式較為新穎．