Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，以AC為直徑的⊙O交BC于點D，點E在AB上，連接DE并延長交CA的延長線于點F，且∠AEF＝2∠C．

（1）判斷直線FD與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若AE＝2，EF＝4，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）直線FD與⊙O相切，理由詳見解析；（2）⊙O的半徑為2．

【解析】

（1）連接OD，根據已知條件得到∠AEF＝∠AOD，等量代換得到∠AOD＋∠AED＝180°，求得∠ODF＝90°，于是得到結論；

（2）解直角三角形得到∠F＝30°，AF＝，求得OF＝2OD，于是得到OD＝FA，即可得到結論．

解：（1）直線FD與⊙O相切；

理由：連接OD，

∵∠AEF＝2∠C，∠AOD＝2∠C，

∴∠AEF＝∠AOD，

∵∠AEF+∠AED＝180°，

∴∠AOD+∠AED＝180°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠ODF＝90°，

∴直線FD與⊙O相切；

（2）∵∠BAC＝90°，AE＝2，EF＝4，

∴∠F＝30°，AF＝，

∵∠ODF＝90°，

∴OF＝2OD，

∴OD＝FA，

∴⊙O的半徑為．