Question

【題目】如圖，點O是邊長為4的等邊三角形ABC的中心，∠EOF的兩邊與△ABC的邊AB，BC分別交于E、F，∠EOF＝120°．

（1）如圖①，當E為AB中點時，求∠EOF與△ABC的邊所圍成的四邊形OEBF的面積；

（2）如圖②，∠EOF繞點O旋轉．在旋轉過程中四邊形OEBF的面積會改變嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）四邊形OEBF的面積＝；（2）不變，理由見解析．

【解析】

（1）連接OB，由等邊三角形的性質可得∠ABO＝∠CBO＝30°，分別求出OE，OF的長，由面積公式可求解；

（2）連接OB、OC，過點O作ON⊥BC，垂足為N，由“ASA”可證△EOB≌△FOC，可得S△EOB＝S△FOC，由面積公式可求解．

解：（1）連接OB，

∵點O是邊長為4的等邊三角形ABC的中心，

∴∠ABO＝∠CBO＝30°，

∵當E為AB中點時，

∴AE＝BE＝2，OE⊥AB，

∴∠BOE＝60°，，

∵∠EOF＝120°，

∴∠BOF＝60°，

∴∠BFO＝180°﹣30°﹣60°＝90°，

∴BF＝CF＝2，

∴，

∴四邊形OEBF的面積＝；

（2）不變，

理由如下：連接OB、OC，過點O作ON⊥BC，垂足為N，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，

∵點O為△ABC的中心

∴∠OBC＝∠OBA＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB．

∴∠OBA＝∠OBC＝∠OCB＝30°．

∴OB＝OC．∠BOC＝120°，

∵ON⊥BC，BC＝4，

∴BN＝NC＝2，

∴ON＝tan∠OBCBN＝，

∴S△OBC＝ BCON＝ ，

∵∠EOF＝∠BOC＝120°，

∴∠EOF﹣∠BOF＝∠BOC﹣∠BOF，即∠EOB＝∠FOC，

在△EOB和△FOC中，

∴△EOB≌△FOC（ASA），

∴S△EOB＝S△FOC，

∴＝．