Question

如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，O是BC邊上一點，以O為圓心的半圓與AB邊相切于點D，與AC、BC邊分別交于點E、F、G，連接OD，已知BD＝2，AE＝3，tan∠BOD＝．

（1）求⊙O的半徑OD；
（2）求證：AE是⊙O的切線；
（3）求圖中兩部分陰影面積的和．

Answer 1

（1）3；（2）證明見解析；（3）．

試題分析：（1）由AB為圓O的切線，利用切線的性質得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO中，利用銳角三角函數定義，根據tan∠BOD及BD的值，求出OD的值即可；
（2）連接OE，由AE=OD=3，且OD與AE平行，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形，根據平行四邊形的對邊平行得到OE與AD平行，再由DA與AE垂直得到OE與AC垂直，即可得證；
（3）陰影部分的面積由三角形BOD的面積+三角形ECO的面積-扇形DOF的面積-扇形EOG的面積，求出即可．
試題解析：（1）∵AB與圓O相切，
∴OD⊥AB，
在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD=，
∴OD=3；
（2）連接OE，

∵AE=OD=3，AE∥OD，
∴四邊形AEOD為平行四邊形，
∴AD∥EO，
∵DA⊥AE，
∴OE⊥AC，
又∵OE為圓的半徑，
∴AE為圓O的切線；
（3）∵OD∥AC，
∴，即，
∴AC=7.5，
∴EC=AC-AE=7.5-3=4.5，
∴S_陰影=S_△BDO+S_△OEC-S_扇形FOD-S_扇形EOG
=×2×3+×3×4.5-
=3+-
=．
考點: 1.切線的判定與性質；2.扇形面積的計算．