Question

27、如圖所示，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠EAD=90°，連接BD、CE．
（1）求證：BD=CE；
（2）觀察圖形，猜想BD與CE之間的位置關系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形從而得到兩腰相等，兩直角相等，從而可以利用SAS判定△ABD≌△ACE，從而得出BD=CE．
（2）由第一步證得△ABD≌△ACE，得到其對應角相等即：∠ABD=∠ACE，再利用三角形的內角和公式，從而得出∠CGF=∠BAC=90°，即BD與CE之間的位置關系為垂直．

解答：證明：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，（1分）
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE．（2分）
在△ABD和△ACE中：
AB=AC
∠BAD=∠CAE
AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．（5分）
∴BD=CE．（6分）

解：（2）BD與CE相互垂直．（7分）
設AC交BD于點F，EC交BD于點G，
由（1）證得：∠ABD=∠ACE，（8分）
又∵∠AFB=∠GFC，（9分）
在△ABF和△GCF中：
∠BAC=180°-∠ABD-∠AFB，
∠CGF=180°-∠ACE-∠GFC，（11分）
∴∠CGF=∠BAC=90°．
∴BD⊥CE．（12分）

點評：此題主要考查全等三角形的判定方法，常用的判定方法有AAS、SAS、SSS、HL等．