Question

如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O，與斜邊AC交于D，E是BC邊上的中點，連接DE．
（1）DE與半圓O相切嗎？若相切，請給出證明；若不相切，請說明理由；
（2）若AD、AB的長是方程x²-10x+24=0的兩個根，求BD的長．

Answer 1

證明：（1）DE與半圓O相切，理由為：
連接OD，BD，如圖所示：
∵AB為圓O的直徑，∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，E為BC的中點，
∴DE=BE=

1

2

BC，
∴∠EBD=∠EDB，
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，
又∠ABC=90°，即∠OBD+∠EBD=90°，
∴∠EDB+∠ODB=90°，即∠ODE=90°，
∴DE為圓O的切線；

（2）方程x²-10x+24=0，
因式分解得：（x-4）（x-6）=0，
解得：x₁=4，x₂=6，
∵AD、AB的長是方程x²-10x+24=0的兩個根，且AB＞AD，
∴AD=4，AB=6，
在Rt△ABD中，根據勾股定理得：BD=

AB2-AD2

=2

5

．