Question

如圖，對稱軸為直線x＝的拋物線經過點A（6，0）和B（0，4）．

(1)求拋物線的解析式及拋物線與x軸的另一交點C的坐標；

(2)D為坐標平面上一點，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出點D的坐標；

(3)如圖2，點E（x，y）是拋物線上位于第四象限的一點，四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形．

①當□OEAF的面積為24時，請判斷□OEAF是矩形嗎？是菱形嗎？

②是否存在點E，使□OEAF為正方形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由拋物線的對稱軸是，可設解析式為．

把A、B兩點坐標代入上式，得

  

解之，得

故拋物線解析式為 (或．

當時，, ∴C(1，0)  

（2）

（3）①根據題意，當S = 24時，即．

            化簡，得  解之，得

故所求的點E有兩個，分別為．

因為OE不垂直于AE，所以□OEAF不可能是矩形.

因為點滿足OE = AE，所以□OEAF是菱形；

因為點不滿足OE = AE，所以□OEAF不是菱形

當OA⊥EF，且OA = EF時，□OEAF是正方形，此時點E的坐標只能是（3，－3）．而坐標為（3，－3）的點不在拋物線上，