Question

【題目】（1）發現：如圖1，點A為線段BC外一動點，且BC＝a，AB＝b且回答：當點A位于那條線段的延長線上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為多少（用含a、b的式子表示）．

（2）應用：點A為線段BC外一動點，且BC＝4，AB＝2，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三解形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE．①請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；②直接寫出線段BE長的最大值．

（3）拓展：如圖3，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（5，0），點P為線段AB外一動點，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，請直接寫出線段AM長的最大值及此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）CB，a+b；（2）①CD＝BE，理由見解析；②最大值為4；（3）滿足條件的點P坐標（2﹣，）或（2﹣，﹣），AM的最大值為2+3．

【解析】

（1）根據點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，即可得到結論

（2）①根據等邊三角形的性質得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根據全等三角形的性質得到CD=BE；②由于線段BE長的最大值=線段CD的最大值，根據（1）中的結論即可得到結果；
（3）連接BM，將△APM繞著點P順時針旋轉90°得到△PBN，連接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根據全等三角形的性質得到PN=PA=2，BN=AM，根據當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，即可得到最大值為2+3；過P作PE⊥x軸于E，根據等腰直角三角形的性質，即可得到P點的一個坐標，再根據對稱性得到P點的另外一個坐標即可得出答案

（1）∵點A為線段BC外一動點，且BC＝a，AB＝b，

∴當點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為BC+AB＝a+b，

（2）①CD＝BE，

理由：∵△ABD與△ACE是等邊三角形，

∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，

∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，

即∠CAD＝∠EAB，

在△CAD與△EAB中，

，

∴△CAD≌△EAB，

∴CD＝BE；

②∵線段BE長的最大值＝線段CD的最大值，

由（1）知，當線段CD的長取得最大值時，點D在CB的延長線上，

∴最大值為BD+BC＝AB+BC＝4；

（3）連接BM，∵將△APM繞著點P順時針旋轉90°得到△PBN，連接AN，

則△APN是等腰直角三角形，

∴PN＝PA＝2，BN＝AM，

∵A的坐標為（2，0），點B的坐標為（5，0），

∴OA＝2，OB＝5，

∴AB＝3，

∴線段AM長的最大值＝線段BN長的最大值，

∴當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，

最大值＝AB+AN，

∵AN＝AP＝2，

∴最大值為2 +3；

如圖2，過P作PE⊥x軸于E，

∵△APN是等腰直角三角形，

∴PE＝AE＝，

∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣3﹣＝2﹣，

∴P（2﹣，）．

如圖3中，

根據對稱性可知當點P在第四象限時，P（2﹣，﹣）時，也滿足條件．

綜上所述，滿足條件的點P坐標（2﹣，）或（2﹣，﹣），AM的最大值為2+3．