Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，CE、DF交于G，連接AG、HG．下列結論：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG＝AD．其中正確的有( )

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

連接AH，由四邊形ABCD是正方形與點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，易證得△BCE≌△CDF與△ADH≌△DCF，根據全等三角形的性質，易證得CE⊥DF與AH⊥DF，根據垂直平分線的性質，即可證得AG＝AD，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得HG＝AD，根據等腰三角形的性質，即可得∠CHG＝∠DAG．則問題得解．

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，

∵點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，

∴BE＝CF，

在△BCE與△CDF中，

∴△BCE≌△CDF，（SAS），

∴∠ECB＝∠CDF，

∵∠BCE+∠ECD＝90°，

∴∠ECD+∠CDF＝90°，

∴∠CGD＝90°，

∴CE⊥DF，故①正確；

在Rt△CGD中，H是CD邊的中點，

∴HG＝CD＝AD，故④正確；

連接AH，

同理可得：AH⊥DF，

∵HG＝HD＝CD，

∴DK＝GK，

∴AH垂直平分DG，

∴AG＝AD，故②正確；

∴∠DAG＝2∠DAH，

同理：△ADH≌△DCF，

∴∠DAH＝∠CDF，

∵GH＝DH，

∴∠HDG＝∠HGD，

∴∠GHC＝∠HDG+∠HGD＝2∠CDF，

∴∠CHG＝∠DAG．故③正確．

故選：D．