Question

【題目】如圖，已知CE是圓O的直徑，點B在圓O上由點E順時針向點C運動（點B不與點E、C重合），弦BD交CE于點F，且BD=BC，過點B作弦CD的平行線與CE的延長線交于點A．

（1）若圓O的半徑為2，且點D為弧EC的中點時，求圓心O到弦CD的距離；

（2）當DFDB=CD2時，求∠CBD的大小；

（3）若AB=2AE，且CD=12，求△BCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）45°；（3）72．

【解析】試題分析：（1）過O作OH⊥CD于H，根據垂徑定理求出點O到H的距離即可；

（2）根據相似三角形的判定與性質，先證明△CDF∽△BDC，再根據相似三角形的性質可求解；

（3）連接BE，BO，DO，并延長BO至H點，利用相似三角形的性質判定，求得BH的長，然后根據三角形的面積求解即可.

試題解析：（1）如圖，過O作OH⊥CD于H，

∵點D為弧EC的中點，

∴弧ED=弧CD，

∴∠OCH=45°，

∴OH=CH，

∵圓O的半徑為2，即OC=2，

∴OH=；

（2）∵當DFDB=CD2時，，

又∵∠CDF=∠BDC，

∴△CDF∽△BDC，

∴∠DCF=∠DBC，

∵∠DCF=45°，

∴∠DBC=45°；

（3）如圖，連接BE，BO，DO，并延長BO至H點，

∵BD=BC，OD=OC，

∴BH垂直平分CD，

又∵AB∥CD，

∴∠ABO=90°=∠EBC，

∴∠ABE=∠OBC=∠OCB，

又∵∠A=∠A，

∴△ABE∽△ACB，

∴，即AB2=AE×AC，

∴AC=，

設AE=x，則AB=2x，

∴AC=4x，EC=3x，

∴OE=OB=OC=，

∵CD=12，

∴CH=6，

∵AB∥CH，

∴△AOB∽△COH，

∴，即，

解得x=5，OH=4.5，OB=7.5，

∴BH=BO+OH=12，

∴△BCD的面積=×12×12=72．