Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC是一條弦，連接OC并延長(zhǎng)至點(diǎn)P，使PC=BC，∠BOC=60°．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為1，且AB、PB的長(zhǎng)是方程x²+bx+c=0的兩根，求b、c的值．

Answer 1

（1）證明：∵PC=BC，
∴∠P=∠CBP，
又∵OB=OC，∠BOC=60°，
∴△BOC是等邊三角形，
∴∠OCB=∠BOC=60°，
又∠OCB=∠P+∠PBC，
∴∠P=∠CBP=30°，
在△BOP中，∠P=30°，∠BOP=60°，
∴∠OBP=90°，
∴BP是⊙O的切線；

（2）∵OB=1，∠P=30°，
∴AB=2，BP=

3

，
又∵AB、BP是方程x²+bx+c=0的兩根，
∴AB+BP=-b，AB•BP=c，
∴b=-2-

3

，c=2

3

．