Question

【題目】等腰直角△ABC，△MAD中，∠BAC=∠DMA=90°，連接BM，CD．且B，M，D三點共線

（1）當點D，點M在BC邊下方，CD＜BD時，如圖①，求證：BM+CD=AM；（提示：延長DB到點N，使MN=MD，連接AN．）

（2）當點D在AC邊右側，點M在△ABC內部時，如圖②；當點D在AB邊左側，點M在△ABC外部時，如圖③，請直接寫出線段BM，CD，AM之間的數量關系，不需要證明；

（3）在（1），（2）條件下，點E是AB中點，MF是△AMD的角平分線，連接EF，若EF=2MF=6，則CD=　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）當點D在AC邊右側，點M在△ABC內部時，BM=CD+AM（3）12-6

【解析】

（1）延長DB到點N，使MN=MD，由題意可證△AND是等腰直角三角形，可得∠NAD=∠BAC=90°，AN=AD，即可證△ABN≌△ACD，可得BN=CD，則結論可得．
（2）當點D在AC邊右側，點M在△ABC內部時，：在線段BM上截取MN=DM，由題意可證△AND是等腰直角三角形，可得∠NAD=∠BAC=90°，AN=AD，即可證△ABN≌△ACD，可得BN=CD，即可得BM=CD+AM，當點D在AB邊左側，點M在△ABC外部時，延長DM到N，使MN=DM．由題意可證△AND是等腰直角三角形，可得∠NAD=∠BAC=90°，AN=AD，即可證△ABN≌△ACD，可得BN=CD，即可得CD=BM+AM
（3）由題意可得EF是中位線，分類討論，代入關系式可求CD的長度．

（1）延長DB到點N，使MN=MD，連接AN,

∵等腰直角△ABC，△MAD,

∴AM=MD，AB=AC，∠ADM=45°=∠MAD,

∵MN=MD，∠DMA=90°，AM=AM,

∴△AMN≌△AMD,

∴AD=AN，∠NAM=∠MAD=45°,

∴∠NAD=90°,

∵∠NAD=∠BAC=90°,

∴∠NAB=∠CAD，且AN=AD，AB=AC,

∴△ABN≌△ACD,

∴BN=CD,

∵MN=BM+BN,

∴AM=MD=BM+CD,

（2）當點D在AC邊右側，點M在△ABC內部時，BM=CD+AM,

如圖：在線段BM上截取MN=DM,

∵等腰直角△ABC，△MAD,

∴AM=MD，AB=AC，∠ADM=45°=∠MAD,

∵MN=DM,

∴AM=DM=MN，且∠AMD=90°,

∴∠AND=∠ADN=∠NAM=∠DAM=45°,

∴AN=AD，∠NAD=90°,

∵∠NAD=∠BAC=90°,

∴∠BAN=∠DAC，且AN=AD，AB=AC,

∴△ABN≌△ACD,

∴BN=CD,

∵BM=BN+MN,

∴BM=CD+AM,

當點D在AB邊左側，點M在△ABC外部時，CD=BM+AM,

如圖：延長DM到N，使MN=DM．

∵等腰直角△ABC，△MAD,

∴AM=MD，AB=AC，∠ADM=45°=∠MAD,

∵MN=DM,

∴AM=DM=MN，且∠AMD=90°,

∴∠AND=∠ADN=∠NAM=∠DAM=45°,

∴AN=AD，∠NAD=90°,

∵∠NAD=∠BAC=90°,

∴∠BAN=∠DAC，且AN=AD，AB=AC,

∴△ABN≌△ACD,

∴BN=CD,

∵BN=BM+MN,

∴CD=BM+AM,

（3）∵MF是△AMD的角平分線，∠DMA=90°，AM=DM,

∴AF=DF=MF且點E是AB中點,

∴BD=2EF=12，

∵EF=2MF=6,

∴MF=3,

∴AF=DF=MF=3,

∴AM=DM=3,

當點D，點M在BC邊下方，CD＜BD時，AM=BM+CD,

∴CD=3﹣（12﹣3）=6﹣12＜0,

故不存在這樣的點D,

當點D在AB邊左側，點M在△ABC外部時，BM=CD+AM,

∴CD=BM﹣AM=12﹣6,

當點D在AB邊左側，點M在△ABC外部時，CD=BM+AM,

∵AB＜DM,

∴不存在這樣的點D,

綜上所述，CD=12﹣6,

故答案為12﹣6.