Question

【題目】（知識背景）

我們在第十一章《三角形》中學習了三角形的邊與角的性質，在第十二章《全等三角形》中學習了全等三角形的性質和判定，在十三章《軸對稱》中學習了等腰三角形的性質和判定．在一些探究題中經常用以上知識轉化角和邊，進而解決問題．

1.（問題初探）

如圖（1），△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D是BC上一點，連接AD，以AD為一邊作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，連接BE，猜想BE和CD有怎樣的數量關系，并說明理由．

2.（類比再探）

如圖（2），△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點M是AB上一點，點D是BC上一點，連接MD，以MD為一邊作△MDE，使∠DME＝90°，MD＝ME，連接BE，則∠EBD＝________．（直接寫出答案，不寫過程，但要求作出輔助線）

3.（方法遷移）

如圖（3），△ABC是等邊三角形，點D是BC上一點，連接AD，以AD為一邊作等邊三角形ADE，連接BE，則BE、BC之間有怎樣的數量關系？________（直接寫出答案，不寫過程）．

4.（拓展創新）

如圖（4），△ABC是等邊三角形，點M是AB上一點，點D是BC上一點，連接MD，以MD為一邊作等邊三角形MDE，連接BE．猜想∠EBD的度數，并說明理由．

Answer 1

【答案】【問題初探】BE=CD，理由見解析；【類比再探】，如圖所示，理由見解析；【方法遷移】BE=CD，理由見解析；【拓展創新】，理由見解析

【解析】

1.【問題初探】根據已知條件易證得，從而得到結論；

2.【類比再探】根據四點共圓的判定和性質，即可得到結論；

3.【方法遷移】根據已知條件易證得，從而得到結論；

4.【拓展創新】根據四點共圓的判定和性質，即可得到結論.

1.【問題初探】BE=CD，理由是：

∵∠EAD＝∠BAC=90，即：∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD=90，

∴∠1＝∠2

又∵AD＝AE，AB＝AC，

∴，

∴BE=CD；

2.【類比再探】，如圖所示：

∵與都是等腰直角三角形，

∴∠MED＝∠MBD=45，

∴B、D、M、E四點共圓，

根據圓內接四邊形對角互補，

∠EBD＝180-∠EMD，

故答案是：；

3.【方法遷移】BE=CD，理由是：

∵∠EAD＝∠BAC=60，即：∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD=60，

∴∠1＝∠2

又∵AD＝AE，AB＝AC，

∴，

∴BE=CD；

4.【拓展創新】，理由是：

∵與都是等邊三角形，

∴∠MED＝∠MBD=60，

∴B、D、M、E四點共圓，如圖所示：

根據圓內接四邊形對角互補，

∠EBD＝180-∠EMD，

故答案是：