Question

【題目】將一副直角三角尺（即直角三角形AOB和直角三角形COD）的直角頂點O的重合，其中，在△AOB中，∠A=60°，∠B=30°，∠AOB=90°；在△COD中，∠C=∠D=45°，∠COD=90°．

（1）如圖1，當OA在∠COD的外部，且∠AOC=45°時，①試說明CO平分∠AOB； ②試說明OA∥CD（要求書寫過程）；

（2）如圖2，繞點O旋轉直角三角尺AOB，使OA在∠COD的內部，且CD∥OB，試探索∠AOC=45°是否成立，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析，②證明見解析；（2）成立，理由見解析

【解析】

（1）①當∠AOC=45°時，根據條件可求得∠COB=45°可說明CO平分∠AOB；②設CD、OB交于點E，則可知OE=CE，可證得OB⊥CD，結合條件可證明OA∥CD；

（2）由平行可得到∠D=∠BOD=45°，則可得到∠AOD=45°，可得到結論．

解： 解：（1）①∵∠AOB=90°，∠AOC=45°，

∴∠COB=90°﹣45°=45°，

∴∠AOC=∠COB，

即OC平分∠AOB；

②如圖，設CD、OB交于點E，

∵∠C=45°，

∴∠C=∠COB，

∴∠CEO=90°，

∵∠AOB=90°，

∴∠AOB+∠OEC=180°，

∴AO∥CD；

（2）∠AOC=45°，理由如下：

∵CD∥OB，

∴∠DOB=∠D=45°，

∴∠AOD=90°﹣∠DOB=45°，

∴∠AOC=90°﹣∠AOD=45°．