Question

【題目】在△ABC中，E、F分別為線段AB、AC上的點（不與A、B、C重合）．

（1）如圖1，若EF∥BC，求證：

（2）如圖2，若EF不與BC平行，（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由；

（3）如圖3，若EF上一點G恰為△ABC的重心，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】（1）由EF∥BC知△AEF∽△ABC，據此得，根據即可得證；

（2）分別過點F、C作AB的垂線，垂足分別為N、H，據此知△AFN∽△ACH，得，根據=即可得證；

（3）連接AG并延長交BC于點M，連接BG并延長交AC于點N，連接MN，由重心性質知S△ABM=S△ACM、=，設=a，利用（2）中結論知==、==a，從而得==+a，結合==a可關于a的方程，解之求得a的值即可得出答案．

（1）∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴，

∴==；

（2）若EF不與BC平行，（1）中的結論仍然成立，

分別過點F、C作AB的垂線，垂足分別為N、H，

∵FN⊥AB、CH⊥AB，

∴FN∥CH，

∴△AFN∽△ACH，

∴，

∴==；

（3）連接AG并延長交BC于點M，連接BG并延長交AC于點N，連接MN，

則MN分別是BC、AC的中點，

∴MN∥AB，且MN=AB，

∴=，且S△ABM=S△ACM，

∴=，

設=a，

由（2）知：==×=，==a，

則===+a，

而==a，

∴+a =a，

解得：a=，

∴=×=．