Question

如圖，正方形ABCD中，O是對角線AC、BD的交點，過點O作OE⊥OF，分別交AB、BC于E、F.

（1）求證：△OEF是等腰直角三角形.
（2）若AE=4，CF=3，求EF的長.

Answer 1

（1）根據正方形的性質可得∠ABO=∠ACF=45°，OB=OC，∠BOC=90°，再結合DE⊥OF可得∠EOB=∠FOC，即可證得△BEO≌△CFO，從而得到結論；（2）5

試題分析：（1）根據正方形的性質可得∠ABO=∠ACF=45°，OB=OC，∠BOC=90°，再結合DE⊥OF可得∠EOB=∠FOC，即可證得△BEO≌△CFO，從而得到結論；
（2）由△BEO≌△CFO可得BE=CF，根據正方形的性質可得AB=BF，再根據勾股定理求解即可.
（1）∵四邊形ABCD為正方形
∴∠ABO=∠ACF=45°，OB=OC，∠BOC=90°
又∵DE⊥OF
∴∠EOF=90°
∴∠EOB=∠FOC
∴△BEO≌△CFO
∴OE=OF
又∠EOF=90°
∴△DEF是等腰直角三角形；
（2）∵△BEO≌△CFO(已證)
∴BE=CF
又∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BF
在Rt△BEF中，EF²=BE²+BF² =CF²+AE²=3²+4²=5²  
∴EF=5
點評：全等三角形的判定和性質是初中數學的重點，貫穿于整個初中數學的學習，是中考中半徑常見的知識點，一般難度不大，需熟練掌握.