Question

【題目】如圖，點(diǎn)A是⊙O直徑BD延長線上的一點(diǎn)，C在⊙O上，AC=BC，AD=CD

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為4，求△ABC的面積.

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、12

【解析】

試題分析：(1)、連接OC，根據(jù)AC=BC，AD=CD，OB=OC得出∠A=∠B=∠1=∠2，根據(jù)BD為直徑得出∠BCD=90°，從而說明∠ACO=90°，得出切線；(2)、首先根據(jù)題意得出△DCO是等邊三角形，根據(jù)Rt△BCD的勾股定理得出BC的長度，作CE⊥AB于點(diǎn)E，然后根據(jù)Rt△BEC的勾股定理得出CE的長度，然后求出△ABC的面積.

試題解析：(1)、如圖，連接OC． ∵AC=BC，AD=CD，OB=OC，∴∠A=∠B=∠1=∠2．

又∵BD是直徑， ∴∠BCD=90°，∵∠ACO=∠DCO+∠2， ∴∠ACO=∠DCO+∠1=∠BCD，

∴∠ACO=90°， 又C在⊙O上， ∴AC是⊙O的切線；

(2)、由題意可得△DCO是等腰三角形， ∵∠CDO=∠A+∠2，∠DOC=∠B+∠1，

∴∠CDO=∠DOC，即△DCO是等邊三角形． ∴∠A=∠B=∠1=∠2=30°，CD=AD=4，

在直角△BCD中，． 作CE⊥AB于點(diǎn)E．在直角△BEC中，∠B=30°，

∴CE=BC=， ∴S△ABC=ABCE=×12×2=12．