Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB邊上的動點(不與點B重合)將△BCP沿CP所在的直線翻折，得到，連接，下面有四個判斷：

①當AP=BP時，∥CP；

②當AP=BP時，

③當CP⊥AB時，；

④長度的最小值是1．

所有正確結論的序號是( )

A.①③④B.①②C.①②④D.②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

①由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及折疊的性質，易得∠AB′P=∠CPB′，即可得AB′∥CP；②由PA=PB′=PC=PB，可得點A，B′，C，B在以P為圓心，PA長為半徑的圓上，然后由圓周角定理，求得答案；③當CP⊥AB時，易證得△ACP∽△ABC，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得AP的長；④易得當B′在線段AC上時，AB′的長度有最小值，繼而求得答案．

∵在△ABC中，∠ACB=90°，AP=BP，

∴AP=BP=CP，

由折疊的性質可得：CP=B′P，∠CPB′=∠BPC=(180°∠APB′)，

∴AP=B′P，

∴∠AB′P=′B′AP=(180°∠APB′)，

∴∠AB′P=∠CPB′，

∴AB′∥CP，故①正確；

②∵在△ABC中，∠ACB=90°，AP=BP，將△BCP沿CP所在的直線翻折，得到，

∴PA=PB′=PC=PB，

∴點A，B′，C，B在以P為圓心，PA長為半徑的圓上，

∵∠B′PC與∠B′AC是所對的圓心角和圓周角，

∴∠B′PC=2∠B′AC，故②正確；

③當CP⊥AB時，∠APC=∠ACB，

∵∠PAC=∠CAB，

∴△ACP∽△ABC，

∴，

∵在Rt△ABC中，AC==4，

∴AP==，故③錯誤；

④由軸對稱的性質可知：BC=CB′=3，

∴CB′長度固定不變，

∵在 AB′C中，AB′＞ACB′C，

∴當B′在線段AC上時， AB′有最小值，此時，AB′=ACB′C=43=1，故④正確．

故選C．