Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過點（0，3），且當x=1時，y有最小值2．

（1）求a，b，c的值；

（2）設二次函數y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）

①若二次函數y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標x1，x2滿足，求k的值；

②請在二次函數y=ax2+bx+c與y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的圖象上各找一個點M、N，且不論k為何值，這兩個點始終關于x軸對稱，求出點M、N的坐標（點M在點N的上方）．

Answer 1

【答案】（1）a的值為1，b的值為﹣2，c的值為3；（2）①k=1或k=﹣5；②M（﹣1，6），N（﹣1，6）．

【解析】

試題分析：（1）用待定系數法求出拋物線解析式中的字母a，b，c，（2）①先化簡拋物線y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的解析式，再用根與系數的關系表示出x1+x2=2（k+1），x1x2=3﹣2k，最后用建立方程求解即可．②先設出點M的坐標，而點M，N關于x軸對稱表示出點N的坐標，對稱點的特點縱坐標互為相反數建立方程，得出（m+1）k=0，而不論k為何值，這兩個點始終關于x軸對稱，則有m+1=0，確定出m，最后得出點M，N的坐標．

試題解析：（1）由已知得：，

解得：．

∴a的值為1，b的值為﹣2，c的值為3．

（2）①∵a=1，b=﹣2，c=3，

∴y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）=﹣x2+2（k+1）x+2k﹣3，

∵二次函數y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標x1，x2，

∴x1+x2=2（k+1），x1x2=3﹣2k，

∴|x1﹣x2|=，

解得：k=1或k=﹣5；

②∵a=1，b=﹣2，c=3，

∴y=x2﹣2x+3和y=﹣x2+2（k+1）x+2k﹣3，

設M（m，m2﹣2m+3），

∵點M，N始終關于x軸對稱，

∴N（m，﹣m2+2（k+1）m+2k﹣3）

m2﹣2m+3=﹣（﹣m2+2（k+1）m+2k﹣3），

∴（m+1）k=0

∵不論k為何值，點M，N始終關于x軸對稱，

∴m+1=0，

∴m=﹣1，

∴M（﹣1，6），N（﹣1，6）．