Question

1、求證：
（1）8|（55¹⁹⁹⁹+17）；
（2） 8（3²ⁿ+7）；
（3）17|（19¹⁰⁰⁰-1）．

Answer 1

分析：（1）根據55+1能被8整除可得出55¹⁹⁹⁹+1也能被8整除，進而可得出答案；
（2）先根據3²-1=9-1=8能被8整除可得出3²ⁿ-1能被8整除，故3²ⁿ-1+8能被8整除，即3²ⁿ+7能被8整除；
（3）根據19-2=17能被17整除，可知19⁴-（2⁴+1）能被17整除，進而可得出（19⁴）²⁵⁰+1²⁵⁰-2能被17整除，故可得出結論．

解答：證明：（1）∵55+1能被8整除，
∴55¹⁹⁹⁹+1也能被8整除，
∵16能被8整除，
∴55¹⁹⁹⁹+1+16=55¹⁹⁹⁹+17能被8整除；

（2）∵3²-1=9-1=8能被8整除，
∴3²ⁿ-1能被8整除，
∴3²ⁿ-1+8能被8整除，
即3²ⁿ+7能被8整除；

（3）∵19-2=17能被17整除，
∴19⁴-（2⁴+1）能被17整除，
∵19¹⁰⁰⁰=（19⁴）²⁵⁰+1²⁵⁰-2能被17整除，
∴17|（19¹⁰⁰⁰-1）．

點評：本題考查的是同余問題，熟知同余問題的等價關系式解答此題的關鍵．