Question

已知：關于x的方程mx²-3（m-1）x+2m-3=0。
（1）求證：m取任何實數時，方程總有實數根；
（2）若二次函數y₁=mx²-3（m-1）x+2m-3的圖象關于y軸對稱，
①求二次函數y的解析式；
②已知一次函數y₂=2x-2，證明：在實數范圍內，對于x的同一個值，這兩個函數所對應的函數值y₁≥y₂均成立；
（3）在（2）條件下，若二次函數y₃=ax²+bx+c的圖象經過點（-5，0），且在實數范圍內，對于x的同一個值，這三個函數所對應的函數值y₁≥y₃≥y₂ 均成立，求二次函數y₃=ax²+bx+c的解析式。

Answer 1

解：（1）分兩種情況： 當m=0時，原方程可化為3x-3=0，即x=1； ∴m=0時，原方程有實數根； 當m≠0時，原方程為關于x的一元二次方程， ∵△=[-3（m-1）]2-4m（2m-3）=m2-6m+9=（m-3）2≥0， ∴方程有兩個實數根； 綜上可知：m取任何實數時，方程總有實數根； （2）①∵關于x的二次函數y1=mx2-3（m-1）x+2m-3的圖象關于y軸對稱； ∴3（m-1）=0，即m=1； ∴拋物線的解析式為：y1=x2-1； ②∵y1-y2=x2-1-（2x-2）=（x-1）2≥0， ∴y1≥y2（當且僅當x=1時，等號成立）； （3）由②知，當x=1時，y1=y2=0，即y1、y2的圖象都經過（1，0）； ∵對應x的同一個值，y1≥y3≥y2成立， ∴y3=ax2+bx+c的圖象必經過（1，0）， 又∵y3=ax2+bx+c經過（-5，0）， ∴y3=a（x-1）（x+5）=ax2+4ax-5a； 設y=y3-y2=ax2+4ax-5a-（2x-2）=ax2+（4a-2）x+（2-5a）； 對于x的同一個值，這三個函數對應的函數值y1≥y3≥y2成立， ∴y3-y2≥0， ∴y=ax2+（4a-2）x+（2-5a）≥0； 根據y1、y2的圖象知：a＞0， ∴y最小=≥0 ∴（4a-2）2-4a（2-5a）≤0， ∴（3a-1）2≤0， 而（3a-1）2≥0，只有3a-1=0，解得a=， ∴拋物線的解析式為：y3=x2+x-。