Question

已知：關于x的方程mx²-3（m-1）x+2m-3=0．
（1）求證：m取任何實數量，方程總有實數根；
（2）若二次函數y₁=mx²-3（m-1）x+2m-3的圖象關于y軸對稱；
①求二次函數y₁的解析式；
②已知一次函數y₂=2x-2，證明：在實數范圍內，對于x的同一個值，這兩個函數所對應的函數值y₁≥y₂均成立；
（3）在（2）條件下，若二次函數y₃=ax²+bx+c的圖象經過點（-5，0），且在實數范圍內，對于x的同一個值，這三個函數所對應的函數值y₁≥y₃≥y₂均成立，求二次函數y₃=ax²+bx+c的解析式．

Answer 1

分析：（1）首先此題的方程并沒有明確是一次方程還是二次方程，所以要分類討論：
①m=0，此時方程為一元一次方程，經計算可知一定有實數根；
②m≠0，此時方程為一元二次方程，可表示出方程的根的判別式，然后結合非負數的性質進行證明．
（2）①由于拋物線的圖象關于y軸對稱，那么拋物線的一次項系數必為0，可據此求出m的值，從而確定函數的解析式；
②此題可用作差法求解，令y₁-y₂，然后綜合運用完全平方式和非負數的性質進行證明．
（3）根據②的結論，易知y₁、y₂的交點為（1，0），由于y₁≥y₃≥y₂成立，即三個函數都交于（1，0），結合點（-5，0）的坐標，可用a表示出y₃的函數解析式；已知y₃≥y₂，可用作差法求解，令y=y₃-y₂，可得到y的表達式，由于y₃≥y₂，所以y≥0，可據此求出a的值，即可得到拋物線的解析式．

解答：解：（1）分兩種情況：
當m=0時，原方程可化為3x-3=0，即x=1；
∴m=0時，原方程有實數根；
當m≠0時，原方程為關于x的一元二次方程，
∵△=[-3（m-1）]²-4m（2m-3）=m²-6m+9=（m-3）²≥0，
∴方程有兩個實數根；
綜上可知：m取任何實數時，方程總有實數根．

（2）①∵關于x的二次函數y₁=mx²-3（m-1）x+2m-3的圖象關于y軸對稱；
∴3（m-1）=0，即m=1；
∴拋物線的解析式為：y₁=x²-1．
②∵y₁-y₂=x²-1-（2x-2）=（x-1）²≥0，
∴y₁≥y₂（當且僅當x=1時，等號成立）．

（3）由②知，當x=1時，y₁=y₂=0，即y₁、y₂的圖象都經過（1，0）；
∵對應x的同一個值，y₁≥y₃≥y₂成立，
∴y₃=ax²+bx+c的圖象必經過（1，0），
又∵y₃=ax²+bx+c經過（-5，0），
∴y₃=a（x-1）（x+5）=ax²+4ax-5a；
設y=y₃-y₂=ax²+4ax-5a-（2x-2）=ax²+（4a-2）x+（2-5a）；
對于x的同一個值，這三個函數對應的函數值y₁≥y₃≥y₂成立，
∴y₃-y₂≥0，
∴y=ax²+（4a-2）x+（2-5a）≥0；
根據y₁、y₂的圖象知：a＞0，
∴（4a-2）²-4a（2-5a）≤0，即（3a-1）²≤0，
而（3a-1）²≥0，故a=

1

3

∴拋物線的解析式為：y=

1

3

x²+

4

3

x-

5

3

．

點評：此題主要考查了二次函數與一元二次方程的關系、根的判別式、完全平方公式、非負數的性質以及用待定系數法確定函數解析式的方法，難度較大．