Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，AO是角平分線，D為AO上一點，作△CDE，使DE=DC，∠EDC=∠BAC，連接BE．

（1）若∠BAC=60°，求證：△ACD≌△BCE；

（2）若∠BAC=90°，AD=DO，求的值；

（3）若∠BAC=90°，F為BE中點，G為 BE延長線上一點，CF=CG，AD=nDO，直接寫出的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析； (2)（3）

【解析】試題分析：（1）只要證明∠ACD=∠BCE，即可根據(jù)SAS證得△ACD≌△BCE；

（2）首先證明△ACD∽△BCE，得，再根據(jù)AD=BC即可解決問題．

（3）如圖3中，作CH⊥BG于H．設OD=k，則AD=nk，BE=nk，AO=（n+1）k，首先證明△ABC≌△HBC，得BH=CH=AB=AC=（n+1）k，BF=nk，求出BG即可解決問題．

試題解析：（1）證明：如圖1中，

∵△ABC和△CDE為等邊三角形，

∴AC=BC，CD=CE．∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB-∠DCO=∠DCE-∠DCO，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）如圖2中，

∵AB=AC，OA平分∠BAC，

∴AO⊥BC，OB=OC，

∵∠BAC=∠EDC=90°，AB=AC，DE=DC，

∴∠ACB=∠DCE=45°，BC=AC，EC=CD，

∴，∠ACD=∠BCE，

∴△ACD∽△BCE，

∴，

∵OA=OB=OC，AD=OD，

∴AD=BC，

∴，

∴．

（3）如圖3中，作CH⊥BG于H．

由（2）可知△ACD∽△BCE，

∴BE：AD=，∠CAD=∠CBE=45°，設OD=k，則AD=nk，BE=nk，AO=（n+1）k，

∵∠ABC=∠HBC=45°，∠BAC=∠BHC，BC=BC，

∴△ABC≌△HBC，

∴BH=CH=AB=AC=（n+1）k，BF=nk，

FH=HG=（n+1）k-nk，

∴．