Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點O在對角線AC上，以OA的長為半徑的圓O與AD、AC分別交于點E、F，且∠ACB=∠DCE．

（1）判斷直線CE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

（2）若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）直線CE與⊙O相切（2）

【解析】試題分析：（1）連接OE．欲證直線CE與⊙O相切，只需證明∠CEO=90°，即OE⊥CE即可；

（2）在直角三角形ABC中，根據三角函數的定義可以求得AB=，然后根據勾股定理求得AC=，同理知DE=1；在Rt△COE中，利用勾股定理可以求得CO2=OE2+CE2，即(-r) 2=r2+3，從而易得r的值；

試題解析：（1）直線CE與⊙O相切

理由如下：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC；

又∵∠ACB=∠DCE，

∴∠DAC=∠DCE；

連接OE，則∠DAC=∠AEO=∠DCE；

∵∠DCE+∠DEC=90°

∴∠AEO+∠DEC=90°

∴∠OEC=90°，即OE⊥CE．

又OE是⊙O的半徑，

∴直線CE與⊙O相切．

（2）∵tan∠ACB=，BC=2，

∴AB=BCtan∠ACB=，

∴AC=；

又∵∠ACB=∠DCE，

∴tan∠DCE=tan∠ACB=，

∴DE=DCtan∠DCE=1；

在Rt△CDE中，CE=，

連接OE，設⊙O的半徑為r，則在Rt△COE中，CO2=OE2+CE2，即(-r) 2=r2+3

解得：r=