Question

【題目】如圖1，已知矩形ABCD的寬AD=8，點E在邊AB上，P為線段DE上的一動點（點P與點D，E不重合），∠MPN=90°，M，N分別在直線AB，CD上，過點P作直線HK AB，作PF⊥AB，垂足為點F，過點N作NG⊥HK，垂足為點G

（1）求證：∠MPF=∠GPN
（2）在圖1中，將直角∠MPN繞點P順時針旋轉，在這一過程中，試觀察、猜想：當MF=NG時，△MPN是什么特殊三角形？在圖2中用直尺畫出圖形，并證明你的猜想；

（3）在（2）的條件下，當∠EDC=30°時，設EP＝ｘ，△MPN的面積為S，求出S關于ｘ的解析式，并說明S是否存在最小值？若存在，求出此時ｘ的值和△MPN面積的最小值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵直線HK∥AB，PF⊥AB，

∴PF⊥HK，

∴∠MDF+∠MPG=∠MPG+∠GPM=90°，

∴∠MPF=∠GPN；

（2）證明：

∵MF=NG，∠MFP=∠NGP=90°，

由（1）得∠MPF=∠GPN，

∴△MFP和△NGP中，

，

∴△MFP≌△△NGP，

∴MP=NP，則△MPN是等腰三角形；

（3）解：△MPN面積存在最小值，此時x=8，S的最小值是16．

∵∠EDG=30°，∠PEF=30°，EP=x，

∴PF= ，

根據題意得：PF+NG=8，

∴NG=8- ，

由（2）可得MF=NG=8- ，

在直角△PMF中，PF2+MF2=PM2，

則PM2=（ ）2+（8- ）2= -8x+6，

∵△MPN的面積是S= PM2，

∴S= PM2= -4x+32= （x-8）2+16，

又∵0＜x＜16，

∴當x=8時，△MPN的面積S的最小值是16．

【解析】（1）矩形中含有直角，所以求角相等是可以考慮用互余關系∠MDF+∠MPG=∠MPG+∠GPM=90°，得到∠MPF=∠GPN；
（2）對于猜想題很容易由圖像猜到為等腰直角三角形，再由第一問得到的角相等∠MPF=∠GPN，易證△MFP≌△NGP得到MP=NP，則△MPN是等腰三角形。
（3）由30°所對的直角邊等于斜邊的一半，易得PF= ,再由等量代換可得MF=NG=8- ，再由勾股定理求得 PM2=（ ）2+（8- ）2= -8x+6最終由二次函數頂點坐標得到最值。