Question

【題目】在平面直角坐標系中，點到直線的距離即為點到直線的垂線段的長．

（1）如圖1，取點M（1，0），則點M到直線l：y＝x﹣1的距離為多少？

（2）如圖2，點P是反比例函數y＝在第一象限上的一個點，過點P分別作PM⊥x軸，作PN⊥y軸，記P到直線MN的距離為d0，問是否存在點P，使d0＝？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

（3）如圖3，若直線y＝kx+m與拋物線y＝x2﹣4x相交于x軸上方兩點A、B（A在B的左邊）．且∠AOB＝90°，求點P（2，0）到直線y＝kx+m的距離最大時，直線y＝kx+m的解析式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點P（，2）或（2，）；（3）y＝﹣2x+9

【解析】

（1）如圖1，設直線l：y＝x﹣1與x軸，y軸的交點為點A，點B，過點M作ME⊥AB，先求出點A，點B坐標，可得OA＝2，OB＝1，AM＝1，由勾股定理可求AB長，由銳角三角函數可求解；

（2）設點P（a，），用參數a表示MN的長，由面積關系可求a的值，即可求點P坐標；

（3）如圖3，過點A作AC⊥x軸于點C，過點B作BD⊥y軸于點D，設點A（a，a2﹣4a），點B（b，b2﹣4b），通過證明△AOC∽△BOD，可得ab﹣4（a+b）+17＝0，由根與系數關系可求a+b＝k+4，ab＝﹣m，可得y＝kx+1﹣4k＝k（x﹣4）+1，可得直線y＝k（x﹣4）+1過定點N（4，1），則當PN⊥直線y＝kx+m時，點P到直線y＝kx+m的距離最大，由待定系數法可求直線PN的解析式，可求k，m的值，即可求解．

解：（1）如圖1，設直線l：y＝x﹣1與x軸，y軸的交點為點A，點B，過點M作ME⊥AB，

∵直線l：y＝x﹣1與x軸，y軸的交點為點A，點B，

∴點A（2，0），點B（0，﹣1），且點M（1，0），

∴AO＝2，BO＝1，AM＝OM＝1，

∴AB＝＝＝，

∵tan∠OAB＝tan∠MAE＝，

∴，

∴ME＝，

∴點M到直線l：y＝x﹣1的距離為；

（2）設點P（a，），（a＞0）

∴OM＝a，ON＝，

∴MN＝＝，

∵PM⊥x軸，PN⊥y軸，∠MON＝90°，

∴四邊形PMON是矩形，

∴S△PMN＝S矩形PMON＝2，

∴×MN×d0＝2，

∴×＝4，

∴a4﹣10a2+16＝0，

∴a1＝2，a2＝﹣2（舍去），a3＝2，a4＝﹣2（舍去），

∴點P（，2）或（2，），

（3）如圖3，過點A作AC⊥x軸于點C，過點B作BD⊥y軸于點D，

設點A（a，a2﹣4a），點B（b，b2﹣4b），

∵∠AOB＝90°，

∴∠AOC+∠BOD＝90°，且∠AOC+∠CAO＝90°，

∴∠BOD＝∠CAO，且∠ACO＝∠BDO，

∴△AOC∽△BOD，

∴，

∴

∴ab﹣4（a+b）+17＝0，

∵直線y＝kx+m與拋物線y＝x2﹣4x相交于x軸上方兩點A、B，

∴a，b是方程kx+m＝x2﹣4x的兩根，

∴a+b＝k+4，ab＝﹣m，

∴﹣m﹣4（k+4）+17＝0，

∴m＝1﹣4k，

∴y＝kx+1﹣4k＝k（x﹣4）+1，

∴直線y＝k（x﹣4）+1過定點N（4，1），

∴當PN⊥直線y＝kx+m時，點P到直線y＝kx+m的距離最大，

設直線PN的解析式為y＝cx+d，

∴

解得

∴直線PN的解析式為y＝x﹣1，

∴k＝﹣2，

∴m＝1﹣4×（﹣2）＝9，

∴直線y＝kx+m的解析式為y＝﹣2x+9．