Question

【題目】（1）如圖①，已知正方形ABCD的邊長是4，M在DC上，M是CD的中點，點P是AC邊上的一動點，則當DP+MP的值最小時，在備用圖（答題卷上）中用尺規作出點P的位置，并直接寫出DP的長是?

（2）如圖②，已知正方形ABCD的邊長是4，點M是DC上的一個動點，連結AM，作BP⊥AM于點P，連結DP，當DP最小時，在備用圖（答題卷上）中用尺規作出點P的位置，并直接寫出DP的長是?

Answer 1

【答案】（1）見解析，；（2）見解析，

【解析】

（1）作點M關于BC的對稱點M′，連結DM′交AC于點P，此時DP+MP最小，最小值為DM′，根據勾股定理求得DM′，然后根據三角形相似對應邊成比例即可求得DP；

（2）以AB為直徑作△APB的內接圓，當DP最小時，N、P、D三點共線，DP最小，根據勾股定理求得ND=

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，即可求得DP．

（1）如圖1①，

作點M關于BC的對稱點M′，連結DM′交AC于點P，

此時DP+MP最小，最小值為DM′，

DM′=，

∵AD∥BC，

△ADP∽△CM′P，

∴DP：PM′=AD：CM′=2：1

∴；

（2）如圖②正方形ABCD邊長是4，所以三角形ABP的半徑是2，DN長是2．DP最小是．

∵BP⊥AM，

∴△ABP是直角三角形，

∴以AB為直徑作△APB的外接圓，

∵正方形ABCD邊長是4，

∴三角形ABP的半徑是2，DN長是2．

當DP最小時，N、P、D三點共線

∴DP最小值=2-2．