Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為1的圓的圓心O在坐標原點，且與兩坐標 軸分別交于A、B、C、D四點．拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于點D，與直線y=x交于點M、N，且MA、NC分別與圓O相切于點A和點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸交x軸于點E，連接DE，并延長DE交圓O于F，求EF的長；
（3）過點B作圓O的切線交DC的延長線于點P，在拋物線上找一點Q，使△BDQ的面積與△BDP的面積相等，求點Q的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據圖形，易得點A、B、C、D的坐標；進而可得拋物線上三點D、M、N的坐標，將其代入解析式，求可得解析式；
（2）由（1）的解析式，可得頂點坐標，即OE、DE的長，易得△BFD∽△EOD，再由EF=FD-DE的關系代入數值可得答案；
（3）首先根據CD的坐標求出CD的直線方程，在根據切線的性質，可求得P的坐標，進而可得P是否在拋物線上，然后求出三角形BDP的面積，即為三角形BDQ的面積，設Q的橫坐標為x，表示出三角形BDQ的面積，列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，將x的值代入拋物線解析式求出對應y的值，即可確定出Q的坐標．

解答：解：（1）∵圓心O在坐標原點，圓O的半徑為1，
∴A（-1，0）、B（0，-1）、C（1，0）、D（0，1），
∵拋物線與直線y=x交于點M、N，且MA、NC分別與圓O相切于點A和點C，
∴M（-1，-1）、N（1，1），
∵點D、M、N在拋物線上，
∴將D（0，1）、M（-1，-1）、N（1，1）的坐標代入y=ax²+bx+c，
得：

c=1 -1=a-b+c 1=a+b+c

，
解得：

a=-1 b=1 c=1

，
∴拋物線的解析式為y=-x²+x+1；

（2）∵y=-x²+x+1=-（x-

1

2

）²+

5

4

，
∴拋物線的對稱軸為直線x=

1

2

，
∴OE=

1

2

，DE=

1 4 +1

=

5

2

，
連接BF，則∠BFD=90°，
∴△BFD∽△EOD，
∴

DE

DB

=

OD

FD

，
又∵DE=

5

2

，OD=1，DB=2，
∴FD=

4 5

5

∴EF=FD-DE=

4 5

5

-

5

2

=

3 5

10

；

（3）根據題意得到點P在拋物線上，理由為：
設過D、C點的直線為y=kx+b，
將點C（1，0）、D（0，1）的坐標代入y=kx+b，得k=-1，b=1，
∴直線DC為y=-x+1，
過點B作圓O的切線BP與x軸平行，P點的縱坐標為y=-1，
將y=-1代入y=-x+1，得x=2，
∴P點的坐標為（2，-1），
當x=2時，y=-x²+x+1=-2²+2+1=-1，
則P點在拋物線y=-x²+x+1上；
可得S_△BDP=

1

2

BP•BD=

1

2

×2×2=2，
由S_△BDP=S_△BDQ，設Q橫坐標為x，
∴S_△BDQ=

1

2

BD•|x_Q|=2，即|x_Q|=2，
∴x_Q=2或-2，
當Q橫坐標為2時，與P重合，舍去；當Q橫坐標為-2時，代入拋物線解析式得：y=-x²+x+1=-4-2+1=-5，
則Q坐標為（-2，-5）．

點評：此題考查了二次函數綜合題，涉及的知識有：待定系數法求函數解析式，二次函數的圖象與性質，坐標與圖形性質，切線的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，第三問判定P在拋物線上是解本題的關鍵．