Question

如圖，以△ABC的BC邊上一點O為圓心的圓，經過A，B兩點，且與BC邊交于點E，D為BE的下半圓弧的中點，連接AD交BC于F，若AC=FC．
（1）求證：AC是⊙O的切線：
（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半徑r．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OA、OD，求出∠D+∠OFD=90°，推出∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，求出∠OAD+∠CAF=90°，根據切線的判定推出即可；
（2）OD=r，OF=8-r，在Rt△DOF中根據勾股定理得出方程r²+（8-r）²=（）²，求出即可．
解答：（1）證明：
連接OA、OD，
∵D為弧BE的中點，
∴OD⊥BC，
∠DOF=90°，
∴∠D+∠OFD=90°，
∵AC=AF，OA=OD，
∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，
∵∠CFA=∠OFD，
∴∠OAD+∠CAF=90°，
∴OA⊥AC，
∵OA為半徑，
∴AC是⊙O切線；

（2）解：∵⊙O半徑是r，
當F在半徑OE上時，
∴OD=r，OF=8-r，
在Rt△DOF中，r²+（8-r）²=（）²，
r=6，r=2（舍）；
當F在半徑OB上時，
∴OD=r，OF=r-8，
在Rt△DOF中，r²+（r-8）²=（）²，
解得：r=6或r=2（舍）；
即⊙O的半徑r為6．
點評：本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質和判定，勾股定理等知識點的應用，主要考查學生的推理和計算的能力．