Question

12、如圖，以△ABC的三邊為邊，在BC的同側作三個等邊△ABD、△BEC、△ACF．
（1）判斷四邊形ADEF的形狀，并證明你的結論；
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是菱形？是矩形？

Answer 1

分析：（1）由題意易得△BDE≌△BAC，∴DE=AC=AF，同理可證，EF=AB=AD，∴ADEF為平行四邊形；
（2）AB=AC時，可得ADEF的鄰邊相等，所以ADEF為菱形，AEDF要是矩形，則∠DEF=90°，由∠DEF═∠BED+∠BEC+∠CEF，可推出∠BAC=150°時為矩形．

解答：解：（1）ADEF為平行四邊形
?BD=AB，BE=BC；
∠DBA=∠EBC=60°?∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA
?∠DBE=∠ABC；
?△BDE≌△BAC
?DE=AC=AF
同理可證：△ECF≌△BCA
?EF=AB=AD
?ADEF為平行四邊形

（2）AB=AC時為菱形，∠BAC=150°時為矩形．
∵AB=AC，
∴AD=AF．
∴ADEF是菱形．
∴∠DEF=90°
=∠BED+∠BEC+∠CEF
=∠BCA+60°+∠CBA
=180-∠BAC+60°
=240°-∠BAC
∴∠BAC=150°

點評：此題主要考查平行四邊形、矩形、菱形的判定．