Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，P是AB延長線上一點，PC與⊙O相切于點C，CD⊥AB于點D，過B點作AP的垂線交PC于點F．

（1）求證：E是CD的中點；

（2）若FB=FE=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2.

【解析】

（1）延長BF、AC交于點M，則結合切線可得BF=FM，再結合平行線分線段成比例可求得CE=DE；

（2）結合條件可證得PF=AF，在Rt△PFB中，可得到PF和PB的關系，再結合PC是切線利用切割線定理可得到PB和PF的關系，可求得PB的長，則可求得AO的長，即⊙O的半徑．

（1）證明：如圖，延長BF、AC交于點M，

∵BF⊥AB，∴FB是⊙O的切線，

又CF是⊙O的切線，

∴CF=BF，

∴∠FCB=∠FBC，

又AB為直徑，

∴∠BCM=90°，

∴∠CBM+∠M=∠BCF+∠FCM=90°，

∴∠FCM=∠M，

∴CF=MF，

∴BF=MF，

∵CD∥MB，

∴，

∴CE=ED，

即E是CD的中點；

（2）解：

∵BF=EF=2=FC=FM，

∴∠FCE=∠FEC=∠AED，

又CD⊥AB，

∴∠FAB+∠AED=∠ECF+∠P，

∴∠FAB=∠P，

∴AF=PF，

∴AB=PB，

設AB=PB=x，PF=y，

則在Rt△PBF中，由勾股定理可得y2=22+x2①，

又由切割線定理可得（y+2）2=x2x=2x2②，

則可解得x=4，y=6，

∴AO=AB=2．