Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB經過點C（a，a），且交x軸于點A（m，0），交y軸于點B（0，n），且m，n滿足＋（n﹣12）2＝0．

（1）求直線AB的解析式及C點坐標；

（2）過點C作CD⊥AB交x軸于點D，請在圖1中畫出圖形，并求D點的坐標；

（3）如圖2，點E（0，﹣2），點P為射線AB上一點，且∠CEP＝45°，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝－2x＋12，點C坐標（4，4）；（2）畫圖形見解析，點D坐標（－4，0）；（3）點P的坐標（，）

【解析】

（1）由已知的等式可求得m、n的值，于是可得直線AB的函數解析式，把點C的坐標代入可求得a的值，由此即得答案；

（2）畫出圖象，由CD⊥AB知可設出直線CD的解析式，再把點C代入可得CD的解析式，進一步可求D點坐標；

（3）如圖2，取點F（－2，8），易證明CE⊥CF且CE＝CF，于是得∠PEC＝45°，進一步求出直線EF的解析式，再與直線AB聯立求兩直線的交點坐標，即為點P.

解：（1）∵＋（n﹣12）2＝0，

∴m＝6，n＝12，

∴A（6，0），B（0，12），

設直線AB解析式為y＝kx＋b，

則有，解得，

∴直線AB解析式為y＝－2x＋12，

∵直線AB過點C（a，a），

∴a＝－2a＋12，∴a＝4，

∴點C坐標（4，4）．

（2）過點C作CD⊥AB交x軸于點D，如圖1所示，

設直線CD解析式為y＝x＋b′，把點C（4，4）代入得到b′＝2，

∴直線CD解析式為y＝x＋2，

∴點D坐標（－4，0）．

（3）如圖2中，取點F（－2，8），作直線EF交直線AB于P，

圖2

∵直線EC解析式為y＝x－2，直線CF解析式為y＝－x＋，

∵×（－）＝－1，

∴直線CE⊥CF，

∵EC＝2，CF＝2，

∴EC＝CF，

∴△FCE是等腰直角三角形，

∴∠FEC＝45°，

∵直線FE解析式為y＝－5x－2，

由解得，

∴點P的坐標為（）.