Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中（如圖），已知經過點A（﹣3，0）的拋物線y＝ax2+2ax﹣3與y軸交于點C，點B與點A關于該拋物線的對稱軸對稱，D為該拋物線的頂點．

（1）直接寫出該拋物線的對稱軸以及點B的坐標、點C的坐標、點D的坐標；

（2）聯結AD、DC、CB，求四邊形ABCD的面積；

（3）聯結AC．如果點E在該拋物線上，過點E作x軸的垂線，垂足為H，線段EH交線段AC于點F．當EF＝2FH時，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）對稱軸為x＝﹣1，點B、C、D的坐標依次為（1，0），（0，﹣3），（﹣1，﹣4）；（2）9；（3）（﹣2，﹣3）．

【解析】

（1）由題意可知該拋物線的對稱軸為直線x＝＝﹣1，而點A（-3，0），求出點B的坐標，進而求解；

（2）根據題意將四邊形ABCD的面積分解為△DAM、梯形DMOC、△BOC的面積和，即可求解；

（3）根據題意設點E（x，x2+2x-3），則點F（x，-x-1），求出EF、FH長度的表達式，即可求解．

解：（1）∵該拋物線的對稱軸為直線x＝＝﹣1，而點A（﹣3，0），

∴點B的坐標為（1，0），

∵c＝﹣3，故點C的坐標為（0，﹣3），

∵函數的對稱軸為x＝﹣1，故點D的坐標為（﹣1，﹣4）；

（2）過點D作DM⊥AB，垂足為M，

則OM＝1，DM＝4，AM＝2，OB＝1，

∴，

∴，

∴，

∴ ；

（3）設直線AC的表達式為：y＝kx+b，則，解得：，

故直線AC的表達式為：y＝﹣x﹣3，

將點A的坐標代入拋物線表達式得：9a﹣6a﹣3＝0，解得：a＝1，

故拋物線的表達式為：y＝x2+2x﹣3，

設點E（x，x2+2x﹣3），則點F（x，﹣x﹣1），

則EF＝（﹣x﹣1）﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x，FH＝x+3，

∵EF＝2FH，

∴﹣x2﹣3x＝2（x+3），解得：x＝﹣2或﹣3（舍去﹣3），

故m＝﹣2.

故點E的坐標為：（﹣2，﹣3）．