Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+6(a≠0)與x軸交于點A（-3，0）和點B（1，0），與y軸交于點C.

(1)求拋物線y的函數表達式及點C的坐標；

(2)點M為坐標平面內一點，若MA=MB=MC，求點M的坐標；

(3)在拋物線上是否存在點E，使∠ABE=∠ACB？若存在，求出滿足條件的所有點E的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=-2x2-4x+6;(2)M(-1，)；（3）E1（-2，6），E2（-4，-10） .

【解析】（1）根據拋物線過A、B兩點，待定系數法求解可得；；

（2）由（1）知拋物線對稱軸為直線x=-1，設H為AC的中點，求出直線AC的垂直平分線的解析式即可得解；

（3）①過點A作交y軸于點F，交CB的延長線于點D，證明ΔAOF∽ΔCOA，求得，分別求出直線AF、BC的解析式的交點，求出，

根據∠ABE=∠ACB求出∠ABE=2，易求E點坐標.

（1）把A（-3，0）、B（1，0）代入y=ax2+bx+6得，

，解得

∴y=-2x2-4x+6,

令x=0，則y=6,

∴C(0，6)；

（2）=-2（x+1）2+8,

∴拋物線的對稱軸為直線x=-1.

設H為線段AC的中點，故H（，3）.

設直線AC的解析式為：y=kx+m，則有

，解得，，

∴y=2x+6

設過H點與AC垂直的直線解析式為：，

∴

∴b=

∴

∴當x=-1時，y=

∴M（-1，）

（3）①過點A作交y軸于點F，交CB的延長線于點D

∵∠ACO+∠CAO=90°,∠DAO+∠CAO=90°

∴∠DAO=∠ACO

∵∠ACO=∠ACO

∴ΔAOF∽ΔCOA

∴

∴

∵OA=3,OC=6

∴

∴

直線AF的解析式為：

直線BC的解析式為：

∴，解得

∴

∴

∴∠ACB=

∵∠ABE=∠ACB

∴∠ABE=2

過點A作軸，連接BM交拋物線于點E

∵AB=4，∠ABE=2

∴AM=8

∴M（-3，8）

直線BM的解析式為：

∴，解得

∴y=6

∴E（-2，6）

②當點E在x軸下方時，過點E作，連接BE，設點E

∴∠ABE=2

∴m=-4或m=1（舍去）

可得E（-4，-10）

綜上所述E1（-2，6），E2（-4，-10）