Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB＝10cm，E為對角線BD上一動點，連接AE，CE，過E點作EF⊥AE，交直線BC于點F．E點從B點出發，沿著BD方向以每秒2cm的速度運動，當點E與點D重合時，運動停止．設△BEF的面積為ycm2，E點的運動時間為x秒．

（1）求證：CE＝EF；

（2）求y與x之間關系的函數表達式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）求△BEF面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）50

【解析】

（1）作輔助線，構建三角形全等，證明△AEM≌△EFN和△ADE≌△CDE（SAS），可得AE=CE=EF；
（2）分兩種情況：根據三角形的面積公式可得y與x之間關系的函數表達式，根據勾股定理計算BD的長可得x的取值；
（3）根據（2）中的兩種情況，分別利用配方法和二次函數的增減性可得結論．

（1）證明：過E作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，AB⊥AD，

∴MN⊥AD，MN⊥BC，

∴∠AME＝∠FNE＝90°＝∠NFE+∠FEN，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF＝∠AEM+∠FEN＝90°，

∴∠AEM＝∠NFE，

∵∠DBC＝45°，∠BNE＝90°，

∴BN＝EN＝AM，

∴△AEM≌△EFN（AAS），

∴AE＝EF，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，

∵DE＝DE，

∴△ADE≌△CDE（SAS），

∴AE＝CE＝EF；

（2）解：在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝，

∴0≤x≤5，

由題意得：BE＝2x，

∴BN＝EN＝x，

由（1）知：△AEM≌△EFN，

則AE=EF=EC，
分兩種情況：

當0≤x≤ 時，如圖1，

∵AB=MN=10，

∴ME＝FN＝10﹣x，

∴BF＝FN﹣BN＝10﹣x﹣x＝10﹣2x，

∴y＝＝﹣2x2+5x（0≤x≤）；

當時，如圖2，過E作EN⊥BC于N，

∴EN=BN=x，
∴FN=CN=10-x，
∴BF=BC-2CN=10-2（10-x）=x-10，

∴y＝＝2x2-5x（）；

綜上，y與x之間關系的函數表達式為

（3）①當0≤x≤ 時，如圖1，

∴y＝﹣2x2+5x＝﹣2（x﹣）2+，

∵﹣2＜0，

∴當x＝時，y有最大值是；

當時，如圖2，

∴y＝﹣2x2+5x＝2（x﹣）2-，

∵2>0，

∴當x＝時，y有最大值是50；

即△BEF面積的最大值是50．