Question

【題目】如圖，M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，，且DM交AC于F，ME交BC于點(diǎn)G．

（1）寫出圖中相似三角形，并證明其中的一對(duì)；

（2）請(qǐng)連結(jié)FG，如果，，，求BG、FG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM，證明見解析；（2）BG＝，FG＝．

【解析】

（1）根據(jù)已知條件，∠DME＝∠A＝∠B＝，結(jié)合圖形上的公共角，即可推出△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，AMF∽△BGM；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，推出BG的長(zhǎng)度，依據(jù)銳角三角函數(shù)推出AC的長(zhǎng)度，即可求出CG、CF的長(zhǎng)度，繼而推出FG的長(zhǎng)度．

（1）△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM，

∵∠AMD＝∠B＋∠D，∠BGM＝∠DMG＋∠D

又∠B＝∠A＝∠DME＝

∴∠AMF＝∠BGM，

∴△AMF∽△BGM，

（2）當(dāng)＝45°時(shí)，可得AC⊥BC且AC＝BC，

∵M為AB的中點(diǎn)，

∴AM＝BM＝2，

∵∠DME＝∠A＝∠B＝，∠FMB是△AFM的外角，

∴∠FMB＝∠A＋∠AFM＝∠DME＋∠GMB，

∴∠AFM＝∠GMB，

∴△AMF∽△BGM，

∴

∴BG＝＝＝，AC＝BC＝4cos45°＝4，

∴CG＝4＝，CF＝43＝1，

∴FG＝．