Question

【題目】數學不僅是一門學科，也是一種文化，即數學文化.數學文化包括數學史、數學美和數學應用等多方面.古時候，在某個王國里有一位聰明的大臣，他發明了國際象棋，獻給了國王，國王從此迷上了下棋，為了對聰明的大臣表示感謝，國王答應滿足這位大臣的一個要求.大臣說：“就在這個棋盤上放一些米粒吧.第格放粒米，第格放粒米，第格放粒米，然后是粒、粒、粒······一只到第格.”“你真傻！就要這么一點米粒？”國王哈哈大笑.大臣說：“就怕您的國庫里沒有這么多米！”國王的國庫里真沒有這么多米嗎？題中問題就是求是多少？請同學們閱讀以下解答過程就知道答案了.

設,

則

即：

事實上，按照這位大臣的要求，放滿一個棋盤上的個格子需要粒米.那么到底多大呢?借助計算機中的計算器進行計算，可知答案是一個位數: ，這是一個非常大的數，所以國王是不能滿足大臣的要求.請用你學到的方法解決以下問題:

我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座層塔共掛了盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的倍，則塔的頂層共有多少盞燈?

計算:

某中學“數學社團”開發了一款應用軟件，推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：

已知一列數：，其中第一項是，接下來的兩項是，再接下來的三項是，以此類推，求滿足如下條件的所有正整數，且這一數列前項和為的正整數冪.請直接寫出所有滿足條件的軟件激活碼正整數的值.

Answer 1

【答案】（1）3；（2）；（3）

【解析】

設塔的頂層共有盞燈，根據題意列出方程，進行解答即可.

參照題目中的解題方法進行計算即可.

由題意求得數列的每一項，及前n項和Sn=2n+1-2-n，及項數，由題意可知：2n+1為2的整數冪．只需將-2-n消去即可，分別分別即可求得N的值

設塔的頂層共有盞燈，由題意得

.

解得，

頂層共有盞燈.

設,

,

即：

.

即

由題意可知：20第一項,20,21第二項,20,21,22第三項,…20,21,22…,2n1第n項，

根據等比數列前n項和公式,求得每項和分別為：

每項含有的項數為：1，2，3，…，n，

總共的項數為

所有項數的和為

由題意可知：為2的整數冪，只需將2n消去即可，

則①1+2+(2n)=0,解得：n=1,總共有，不滿足N>10，

②1+2+4+(2n)=0,解得：n=5,總共有 滿足，

③1+2+4+8+(2n)=0,解得：n=13,總共有 滿足，

④1+2+4+8+16+(2n)=0,解得：n=29,總共有 不滿足，

∴