Question

【題目】如圖，已知點A、B以及直線l，AE⊥l，垂足為點E．

（1）過點B作BF⊥l，垂足為點F；

（2）在直線l上求作一點C，使CA＝CB；

（要求：第（1）、（2）小題用尺規作圖，并在圖中標明相應字母，保留作圖痕跡，不寫作法．）

（3）在所作的圖中，連接CA、CB，若∠ACB＝90°，求證：△AEC≌△CFB．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析；

【解析】

（1）利用尺規作圖法，任取一點，使點在點B的兩側，以B點為圓心，B點到該點的長為半徑畫弧，交直線于兩點，再分別以這兩點為圓心，以大于兩點一半距離為半徑畫弧，兩弧相交于一點，連接點B與該點與直線l交于點F，即為所求點；

（2）利用尺規作圖法，在線段AB的兩端點用同一半徑畫弧，在線段的兩旁各得一個交點，將此兩交點連接起來，這個連線即為線段的垂直平分線，與直線l交于點C，即為所求點；

（3）首先由AE⊥l，得出∠AEC＝90°，∠1+∠2＝90°，再由∠ACB＝90°，∠3+∠2＝90°，得出∠1＝∠3，即可判定△AEC≌△CFB.

（1）解：如圖，直線BF就是要求作的垂線；

（2）解：如圖，點C就是所要求作的點；

（3）證明：∵AE⊥l，

∴∠AEC＝90°，∠1+∠2＝90°．

∵∠ACB＝90°，

∴∠3+∠2＝90°．

∴∠1＝∠3，

在△AEC和△CFB中

∴△AEC≌△CFB （AAS）．